微分的概念(能否简单解释一下微积分是做什么用的呢)

微分的概念，能否简单解释一下微积分是做什么用的呢？

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微积分分为微分和积分。

理解微积分是什么最重要有两个概念：1. 无穷小； 2. “化曲为直”。

无穷小

无穷小这个概念我认为是翻译上的问题，会给开始学习微积分的同学很大的困惑。但是，对数学的学习首先要吃透数学概念。

理解无穷小只要想通一个问题就可以了。0.99999...（无限循环）这个数等不等于1？数学证明有很多种，比如说0.3333....... = 1/3 那么0.3333...... * 3 = 1/3 * 3 = 1。是不是和之前的知识连接有问题？1 - 0.99 = 0.01； 1 - 0.9999 = 0.0001；只要0.999...有位数，那么1 - 0.999... = 0.00...1，那么这个数怎么会等于0呢？

回归定义，自然清明。无穷小量的极限为0，无限接近于0。这样的话，dt = 1 - 0.999....就是最应该知道的无穷小量。

“化曲为直”

首先，理解这个概念，我们找一个相对来说是无穷大的东西 - 地球。地球表面，既是一个曲面。当我们前后左右四望的时候，是不是都是感觉是平面呢（除了地形原因）？我们所见的范围相对于地球来说，自然不就是一个无穷小的区域嘛。

现在，我们随意画一条函数曲线，当我们取一个无穷小量dx的时候，想象一下，f(x + dx) - f(x)这个曲线线段上站着你，在你眼中，曲线自然变成了直线。这就是“化曲为直”的思想。

理解的话，也参考“化曲为直”的方法。当你躺在地上的时候，你的身体可以近似看成地球曲面的一个切线。同时，由于我们后背，后脑勺都和地球接触，我们的身体可以看成地球曲面的一个无穷小段。

既然，无穷小的情况下，可以“化曲为直”。那么，曲线被无限划分之后，可以看成一个一个的矩形。而积分就是算这些矩形面积的和。

计算曲线长度

战争促进了微积分的发展，炮弹的轨迹是一个抛物线，那么怎么去精确计算炮弹的轨迹和落点是战争中需要解决的问题。通过微积分，可以完美解决。

曲线，可以被分解成无限个小段，也就是说如果把炮弹的轨迹无限划分，在一个无限小的时间内，运动轨迹等于瞬时速度乘以时间。瞬时速度是水平和垂直速度的合成。

假设，水平距离的有函数X(t)，垂直距离的函数为Y(t)，那么，X(t)和Y(t)的导数可以理解为水平和垂直的瞬时速度。瞬时速度就可以看做如下求得：

整个轨迹可以用积分：

计算图形面积

积分的本质就是无限划分求和的过程，如果知道函数f(x)的曲线，面积就可以用微积分的方式去求得。如下图：

椭圆可以表示为：

就可以通过微积分算出椭圆的面积公式。

计算体积

类似于面积的应用，比如说一个桶装满水，底圆面积为A，高为y，在底部有一个洞出水，在过了n秒后，桶内水的体积。这些问题先找关系，列出函数表达式，然后用积分求解。

物理学中的应用也很多，牛顿第二定律F=ma可以用冲量=动量的微积分推导。宇宙第二速度和降落伞原理也可以用微积分推导出来。

微积分的应用还有很多，这里就简单的介绍几个。喜欢的话，请点击订阅。每天都有料的“逃学博士”。

微分是求导还是还原？

1、定义不同

微分：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。

求导：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

2、基本法则不同

微分：基本法则











求导：基本求导公式

给出自变量增量



；

得出函数增量



；

作商



；

求极限



。

3、应用不同

微分：法线，我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。

增函数与减函数，微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。

变化的速率，微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。

求导：求导是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

谁能给我形象的讲下微分与导数的区别？

(1)起源（定义）不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率,即△y/△x的极限.微分起源于微量分析,如△y可分解成A△x与o(△x)两部分之和,其线性主部称微分.当△x很小时,△y的数值大小主要由微分A△x决定,而o(△x)对其大小的影响是很小的.(2)几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率,微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量,而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量.可参考任何一本教材的图形理解.(3)联系：导数是微分之商（微商）y' =dy/dx,微分dy=f'(x)dx,这里公式本身也体现了它们的区别.(4)关系：对一元函数而言,可导必可微,可微必可导.

微分的符号？

微分

设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，(注：o读作奥密克戎，希腊字母),那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

什么是微分方程及其阶？

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。