zeta函数(世界七大数学难题)

zeta函数，世界七大数学难题？

这七个“世界难题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯存在性和质量缺口、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。这七个问题都被悬赏一百万美元。1.NP完全问题

例：在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。宴会的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现宴会的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。

生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13717421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。

人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。

2.霍奇猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完好的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

3.庞加莱猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。

在佩雷尔曼之后，先后有2组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚。

2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

4.黎曼假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

黎曼假设之否认：

其实虽然因素数分布而起，但是却是一个歧途，因为伪素数及素数的普遍公式告诉我们，素数与伪素数由它们的变量集决定的。具体参见伪素数及素数词条。

5.杨-米尔斯存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和驻波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

6.纳卫尔-斯托可方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

7.BSD猜想

数学家总是被诸如

那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)。相反，如果z(1)不等于0。那么只存在着有限多个这样的点。

拉马努金的那些壮观的公式？

我下面的回答是基于1936年哈代的一篇关于拉马努金的演讲《印度数学家拉马努金》写出来的，原译文可见于哈代《一个数学家的辩白》中文版附录。

我到现在还是以为哈代是最好的了解拉马努金及其数学的渠道，就算是他的很好的传记《知无涯者》，我也觉得不够直接。

（关于他具体是怎么发现的这些恒等式，连哈代都不清楚，我有哪能得知，下面只是给出拉马努金这个人的数学及其“恒等式”一个轮廓、大概的印象。）

哈代给拉马努金的定位是:

我觉得说得挺好的。

拉马努金在印度之时，数学一直很好，而激发拉马努金的研究天赋的是，卡尔的《纯粹与应用数学基本结果概要》一书，这本书系统阐述了6165条定理，以比较科学的形式罗列着，并附上了证明（但是这部分比较无聊）。该书内容对三角学、微积分、解析几何都有涉猎，不过明显作者最偏爱积分、级数，也是他讲得最好的部分，这也是拉马努金所钟爱的部分。这本书对拉马努金的影响，说多大都不为过

不过该书一点没讲函数论和椭圆函数，所以哈代怀疑拉马努金可能至死也不曾解析函数的概念，而又对他从哪里获得的与椭圆函数有关的知识表达了疑惑。

拉马努金的笔记本，实际上可以看做他学习这本书所做的读书笔记，他沿袭了这本书展示定理的方式。他证明了这书里的一些内容，因为没有其他书的帮助，对他而言，每个解法都是一项研究。他除了做一些证明，另外做出的推广则显得更为丰富、重要，不过几乎完全没有证明。

（关于没有证明这一点，我觉得并不全是因为他当时没有“证明”的概念，更大程度上是因为书写用纸太贵，他写笔记时极为拮据，根本不可能有那么多纸去完整地写下证明。伟大如黎曼，晚年用纸都是十分拮据的，以致后人看他的草稿纸，都很难找到些什么，好多年过后才有西格尔找到了如何计算黎曼零点）

另外关于拉马努金曾说的“娜玛卡女神在梦中用公式向他启示”，我觉得更像是一种譬喻。毕竟，按哈代的分析，拉马努金是不“信”神的。

下面一起看看哈代在这篇文章里所举的15个“拉马努金式”的恒等式

这15个式子，算是比较典型的了。（1）-（4），是典型的级数公式；（5）-（7）则为定积分式子；（8）-（12）是连分数有关的；（13）是椭圆函数里一种容易得到的推论；（14）（15）是有问题的。积分、级数、连分数是拉马努金的恒等式里出现得最多的，加上椭圆函数，和最后一个与数论相关的式子，加上一定的出错比例，这确实是一份代表性很强的样本。

而里面的（2）（7）（8）都是已有人发现的，（13）也早已有类似结论为前人所证，哈代也说椭圆函数方面的专家能立刻看出其是以某种方法从“复乘法”理论中推导出来的，（5）（6）这种则为哈代这种定积分高手所证。用哈代的话来说，（14）虽然错了，但确是他最富成果的研究之一，这指引了他和拉马努金在这一领域的重要研究。（15）则完全是误入歧途了

细究起来，拉马努金的“大部分”工作（在对拉马努金的笔记本的后续发掘中，得到的很多东西是原创度很高的结果），都是早已发现的，他在印度时的环境，根本无法得知欧洲数学发展到何种地步，所做的很多工作都是徒劳的重复。有的工作到底是学来的，还是自己发现的，连哈代都难以断言

另外可以说一说他在数论上的贡献，因为这里也有他写下的恒等式。

他在雅可比工作的基础上，发展了将整数表示为平方数之和的理论；他的笔记本里的笔记显示，他独立地发现了素数定理；他也独立发现了黎曼Zeta函数的函数方程，泊松和阿贝尔的一些结果。

而另一个广为人知的故事是关于数字1729的，哈代以为是一个寻常甚至糟糕的数，拉马努金却很快反应过来这个数是个非常有趣的数，它是最小的能以两种不同方式写成两立方和的数。

故事还有后续。哈代立马问四次方的情形，拉马努金思索一番过后回答说找不到明显的例子，他认为这样的第一个数一定非常大。（事实上，欧拉早已给出第一个这样的数，即635318657。）

如果普通人证明出了黎曼猜想？

黎曼猜想是与三体问题、N-S方程并列的数学三大最难问题，黎曼猜想是：zeta函数的所有非平凡零点都位于Re(s)=1/2的直线上。自黎曼1859年在论文《论小于给定数值的素数个数》中提出这个猜想至今159年以来，已经多次出现有人声称证出来了。1885年荷兰数学家斯蒂尔切斯声称证出，2004年美国数学家德布朗基，以及最近英国数学家迈克尔•阿提亚也都声称证出，但都未给出正确的证明！

可想而知，黎曼猜想并不是一般数学家能攻克的，更不可能连复变函数都不是很懂的数学爱好者能拿下的。当然，谁能证出，一定会轰动世界彪炳史册！那么，能证出黎曼猜想的人就一定是已经大名鼎鼎的数学家吗？未必！作者认为反而是一直默默无闻但勇于创新的数学家的可能性更大一些。为什么这样说呢？这与黎曼猜想的思路要求与目前研究套路不太匹配有关！自1896年阿达马和普森同时证明了粗糙的素数分布即所谓素数定理，也只是把零点分布带形域由闭的0≤Re(s)≤1/2改为开的0<Re(s)<1/2,后面几乎没什么大的进展，而目前已验证了黎曼zeta函数前十万亿个零点都位于临界线Re(s)=1/2上，即使后面用到了黎曼—西格尔公式，但在是借用了两端异号判定的近似计算，这当然是无奈之措，因此很可能需要重新洗牌！

那么问题的实质在哪里呢？学过复分析的都知道，我们有办法对全纯函数在划定区域内的零点个数有很好的计算，但就是很难很难得到零点序列的精确表达式，即零点的通项公式！如果一旦求出黎曼zeta函数各零点的严格解，并化简到符合要求，那么，不仅黎曼猜想获证或证否，而且也就解决了素数分布这个困惑人类的千古难题，像孪生素数问题、哥德巴赫猜想及算法领域等一系列重大难题也就迎刃而解了！

好在零点的严格解已找到求解的思路了，让我们对黎曼猜想的证明充满信心和期待吧！

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上课认真听老师讲课，下课不懂就问，可以向老师同学请教

丘成桐评价黎曼猜想？

丘成桐的评价黎曼猜想如下：

首先说明，我不是数论或是黎曼函数的专家。我只能从我自己的经验来回答你的问题。

我问过一批专家，大家都说这篇文章[1]没有提供一般数学家要求的严格性的定理证明。

我本人认为数学家在宣布解决一个大问题前，需要找一些专家验证所有的步骤，然而我相信阿蒂亚教授并没有这样做。

至于 fine structure 常数这个问题是物理学中极为基本的问题，有些人认为它不是常数，随着能量大小来改变。况且阿蒂亚教授的论点极为牵强，看不到它的物理或数学上的意义。

关于他发表的证明部分，T 函数极为重要，但是他没有仔细描述他的 T 函数，这个 T 函数是否存在是一个重要的问题。看来他是希望它存在，然后用它来证明黎曼猜想，就是说黎曼 zeta 函数的主要零点都在 Re(s) = 1/2 的线上。

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