级数收敛（研究无穷级数的一种新方法）

最近，我想出了一个有趣的小技巧，将一个（无穷）级数转化为另一个级数。我认为即使我们可能不会通过这种方式发现新的定理，但以新的方式推导出旧的真理仍然很有趣。

在我们开始之前，请回忆一下，我们通过以下方式定义黎曼Zeta函数：

为了介绍这一方法，我认为最好通过一个例子来说明。

让我们考虑一下几何数列：

请注意，为了让级数收敛，我们让z的模小于1。

通过简单的替换，我们可以把它写成：

现在我们有了一个想法。但是为了让这个想法正确地运作，我们需要在两边同时减去1（你马上就会看到为什么）。

我们得到：

在这一点上，我们做一个替换，即z→x/n，隐含的条件是对于某个自然数n，n>x。

在这个替换之后，我们实际上可以对两边的n进行求和，并且注意到：

其中第一个等式是由绝对收敛性证明的。我们有：

现在，回顾一下，余切函数有一个著名的级数表示：

证明这个等式是一个非常好的练习。这个等式意味着：

现在我们有：

因为通过解析延拓：

我们得到了一个美丽的等式：

这个例子只是冰山一角。让我们尝试将这一方法应用于一个稍有不同的级数，看看它能给我们带来什么。

首先，我们将考虑另一个版本的几何级数，即交替的几何级数：

通过两边积分，得到著名的自然对数的表达式：

让x=1，以得到另一个美丽的等式。

然而，我们现在将把上面的方法应用于这个表达式。乘以-1，在两边加上x，再一次用x/n代替x，得到：

现在是进行一些转换的时候了，这需要运用一些对数规则：

你能认出积里面的表达式吗？让我们回顾一下伽马函数的魏尔斯特拉斯积。

其中γ是欧拉-马斯克若尼常数。我们很快就会发现，左边的无限积只不过是一个涉及伽马函数的表达式。更明确地说，我们有：

这意味着：

但是，朋友们：这只不过是ln(Γ)围绕点1的泰勒级数。这是一个众所周知的结果，但得到它的方法是通过我们的小技巧。再往前走一步，就可以看到一个同样有趣的函数的级数，它被称为digamma函数。

通过对两边进行微分，我们得到：

这是由赫尔维茨zeta函数的泰勒级数导出的。至于digamma函数，这是另一篇文章的内容了（后续）。