行列式转置(矩阵的转置等于它的逆阵)

行列式转置，矩阵的转置等于它的逆阵？

若矩阵为方阵且其逆矩阵存在时，矩阵的逆的转置 等于 矩阵的转置的逆。

注意;只有方形矩阵才有矩阵的逆，而非方形的叫做“矩阵的伪逆”，此处只论方阵。其次只有当方阵的行列式不为0时，其逆矩阵才存在，故这里只讨论其行列式不为0的方阵（只要有任意一行或一列全文0的方阵，其行列式值为0，但不仅限于此）.

先算矩阵的逆的转置



算此矩阵的转置的逆



故证明成立。

扩展资料：

逆矩阵的性质

性质定理

可逆矩阵一定是方阵。

如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

证明

逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C

假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。

矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O

而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O

2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。

得B-C=O，即B=C。

可逆等价条件

若|A|≠0，则矩阵A可逆，且



其中，A*为矩阵A的伴随矩阵。

证明：

必要性：当矩阵A可逆，则有AA-1=I 。（其中I是单位矩阵）

两边取行列式，det（AA-1）=det（I）=1。

由行列式的性质：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1

则det（A）≠0，（若等于0则上式等于0）

充分性：有伴随矩阵的定理，有



（其中



是的伴随矩阵。）

当det（A）≠0，等式同除以det（A），变成



比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵

Python如何求转置行列式？

方法一 ：使用常规的思路

3

/5

思路：矩阵的转置就是从行变成列，列变成行。先定义一个最终存放矩阵的容器；先对列进行循环i，并定义一个临时数组用于存放数据，在每次列的循环内部，再次对行进行循环j，取第Mji个元素存入一个临时数组中；在每次列循环完毕，将临时数组存入最终数组中；当列循环完毕, 最终数组就是矩阵的转置。方法二：使用zip解压包

4

/5

思路：zip解压包后，返回一个将多个可迭代对象组合成一个元组序列的迭代器，正如：

5

/5

在每次循环中将元组强转成list并存入总list中。

转置矩阵的行列式的值？

矩阵的行列式和其转置矩阵的行列式一定相等。

证明要用到：

1、交换排列中两个元素的位置，改变排列的奇偶性；

2、行列式的定义可改为按列标的自然序，正负号由行标排列的奇偶性决定。

初等行变换

1、以P中一个非零的数乘矩阵的某一行。

2、把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中的任意一个数。

3、互换矩阵中两行的位置。

一般来说，一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵，当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，一般写作A-B。

可以证明：任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。

初等列变换

同样地，定义初等列变换，即：

1、以P中一个非零的数乘矩阵的某一列。

2、把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中的任意一个数。

3、互换矩阵中两列的位置

一个矩阵能被转置的必要条件是方阵？

矩阵的秩定义为它的非零子式的最大阶。注意行列式转置值不变。矩阵的子式在

转置之后成为转置矩阵的子式(原子式的转置。）。它的值不变。所以非零子式

的最大阶也不会变。即矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩。一个矩阵能被转置的必要条件是方阵？

转置的行列式等于行列式的转置吗？

根据行列式性质的第六条有:行列互换,行列式不变