拉普拉斯算子(物理学的矢量和数学的向量是一回事吗)

拉普拉斯算子，物理学的矢量和数学的向量是一回事吗？

向量是高中数学中一个比较新的知识点，也是一个比较重要、应用较广泛的工具。在物理学、信息学、几何学中，都有向量的身影。步入大学后，向量更是大学物理学、线性代数的基石。

向量理论的起源与发展主要有三条线索：物理学中的速度和力的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示。物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。 18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。

早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象，它首先是由英国数学家哈密在20世纪初引入中学数学。

我国在1996年高中数学教学大纲中引入了向量。向量具有丰富的物理背景，向量既是几何的研究对象，又是代数的研究对象。它是沟通代数、几何的桥梁，是重要的数学模型。

力的平行四边形法则

我们通常用点表示位置，用射线表示方向，长度表示大小，所以在平面内，向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作|a|。长度为0的向量叫做零向量，记作0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）。长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。

用有向线段表示向量

大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。

到了18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，随着数学的发展，莱布尼兹的位置几何学中用到了向量，于是向量概念变为近代数学中重要和基本的概念之一。

空间向量坐标系

但从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识。直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

复数与向量的关系

从此，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。从此，人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学。

物理学是如何对待矢量的？

“矢量”就是说“既有大小，又有方向的量”。在物理学习中，我们知道，有很多物理量是矢量；在高中的数学中，我们也学习了向量（这两个词的含义是一致的，只是数学中称“向量”而物理中称“矢量”，以下统称“矢量”）。但经过对比，很容易发现：在高中的物理和数学中（以下省略“高中”二字），对矢量的处理是不相同的。

具体的区别很明显：在数学中，表示矢量的字母会加粗（对于印刷体）或头上有箭头；而在物理中，代表矢量物理量的字母与标量没有什么不同的，如果你对该字母的含义不熟悉，你完全不会知道它代表的是一个矢量。相应地，在数学中，矢量之间有自己的矢量运算；而在物理中，这些矢量只能使用普通的代数法则进行运算。

物理中表示矢量的字母，实际上表示的通常仅仅是矢量的大小（直线上的例外情况），被视为标量。这些矢量之间因此也仅按标量法则进行运算（因为它们在式子中仅被作为标量处理）。尽管如此，诸如“速度v的方向”这样的表述是没有问题的，因为这里我们把“v”视为一个矢量的代称（但在计算式中不可以这样做）。

物理避免直接的数学意义上的矢量运算，而是想方设法将矢量运算变为标量运算（例如将矢量分解到几个方向上，或者使用其他方法）。表示矢量的字母只能进行普通的代数运算，不能进行矢量运算。只有在分析的时候，才有可能使用矢量法则。

如果有某个矢量是未知的，可以用一个字母先代表它，然后求出它的值，最后通过前面说的原则来判断它的方向（依据将其前面的符号考虑进来后其值的符号）。

简单归纳地说，在计算中，中学物理是如何对待矢量的。

1. 矢量没有特别的外观显示出它们的矢量性，并被当作标量处理。表示矢量的字母通常仅表示矢量的大小（最多赋予一个符号）。仅在分析时，这些矢量才真正被当作矢量处理。

2. 矢量不使用数学的矢量法则进行计算，而只用代数法则。

3. 在一条直线上时，矢量可以被赋予相应的符号以表示其在直线上的方向。

很多时候，我们是将表示矢量的字母加粗或在头上加上箭头之后就算是修正了，但也不总是如此。例如滑动摩擦力公式f = μN（N表示正压力，这里与物理书上符号不同）显然就不能修正为f = μN——f与N的方向明显不同，原公式也仅仅是描述f与N的大小关系的。f与N的具体方向由它们自身的类型决定——f与物体速度方向相同，N与接触面垂直向下。这一点要搞清楚：高中物理中表示矢量的符号（在没有使用矢量外观时）仅仅表示矢量的大小（最多再加上符号来表示在一条直线上的方向）。

在大学物理中，使用矢量的数学表述会很常见。许多著名的物理公式都使用了数学的矢量语言进行表达（例如麦克斯韦方程组）。不过，在只需要使用到矢量大小的时候，人们还是会选择使用简单的标量表示法。

人生是一个动态的发展演变过程，显然更符合矢量的特点。那么，有没有一定的量，可以判定人生的状态？能不能找到一定的法则，可以预测人生的演变？

人生是一个运行的动态的过程，显然一定有一种力量推动它前进。从力量的来源，我可以简单的把这个力量分为自身力和环境力。从力量的方向，我把这个力量分为动力和阻力。力量当然有大有小。而且一个人最终呈现出来的力量，一定是各种力量综合之后形成的合力。这个表述无比简单，然而现实却又无比复杂。

同样一个环境，对有的人有很大促进作用，而对另外一批人却有很大阻碍作用。事实就是这样，比如新冠病毒疫情爆发，对餐饮业从业人员等，是一种毁灭性的打击；而对医药口罩从业人员，却是一个很大的机遇。

物理学中，路程速度时间公式：s=vt 加速度路程时间公式：S=1/2at²

人生的进程，肯定也有一个公式。只是我们常常看见太多的偶然性因素，而忽略了人生中某种必然的结果。

当然，我现在无法给出一个人生进程的公式。但是我相信这样的公式一定存在。

除了力量，还有一个贯穿始终无法摆脱却又起点又终点的元素：时间。人生和时间一样，只能前进，不能后退。而且只有一次。所以人生很珍贵。无比珍贵。

二阶导数梯度算子有哪些？

谁能解释一下薛定谔方程里面的各种字母？

i 单位虚数 h加横杠 普朗克常数除以2π 倒三角平方 拉普拉斯算子 V 势能 定态方程中E 表示总能量

roberts交叉梯度算子怎么用？

常见的边缘检测算子有Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子、Marr-Hidreth边缘检测以及canny算子等。

一、利用梯度进行边缘检测

1、Roberts算子采用对角线方向相邻两像素之差近似的梯度幅值来检测边缘。该算子定位较准确，但对噪声比较敏感，检测水平和竖直边缘效果好于斜向边缘。

2、Sobel算子根据图像的像素点上下、左右邻点灰度加权差在边缘处达到极值这一特点来检测边缘。该算子对噪声有较好的平滑作用，能提供建准确的边缘方向信息，但是边缘定位精度不高。

3、Prewitt算子边缘检测的思路与Sobel算子类似，也是在一个掩模中定义微分运算。算子对噪声具有平滑作用，同样定位精度不够高。

二、更为先进的边缘检测技术

1、Marr-Hildreth算法（拉普拉斯算子）

(1)采用高斯低通滤波器对图像进行滤波；

(2)采用拉普拉斯模板对进行卷积；

(3)找到步骤(2)所得图像的零交叉。

该算子是二阶微分算子，利用边缘点处二阶导函数出现零交叉原理来检测图像的边缘。对灰度突变及噪声较敏感，不具有方向性，不能获得图像边缘的方向信息。

2、Canny算子

Canny边缘检测算法步骤：

(1)用一个高斯滤波器平滑输入图像

(2)计算梯度幅值图像和角度图像

(3)对梯度幅值图像进行非最大抑制

(4)用双阈值处理和连接分析来检测并连接边缘

Canny算子是上述中效果最好的算子，该算子去噪能力强，在连续性、细度和笔直度等线的质量方面也很出众。但是Canny算子的性能带来的问题是：连接起来更复杂、执行时间较长。

综上所述，在实际工业生产中，要求实时性较高的情况下，通常采用阈值梯度的方法；当对质量要求较高时，可选择更为先进的方法，尤其是Canny算子。

二阶微分算子有哪些？

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：

，这里关于哪个变量微分是清楚的，以及

，这里指明了变量。

一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的：

记号D的发明与使用归于奥利弗·亥维赛，他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为

另一个微分算子是Θ算子，定义为

有时候这也称为齐次算子，因为它的本征函数是关于z的单项式：

在n个变量中齐次算子由

给出。与单变量一样，Θ的本征空间是齐次多项式空间。