反常积分的敛散性判别(自学高数要具备高中的知识吗)

反常积分的敛散性判别，自学高数要具备高中的知识吗？

学习高等数学需要高中数学基础吗？

狭义的高等数学就是指微积分（包括一元函数微积分、多元函数微积分、空间解析几何和级数等内容），而广义的高等数学则包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等内容。通常考研高等数学（或专升本高等数学）就是指微积分部分。以微积分的学习为例，因函数是微积分的研究对象，所以在微积分的学习中会用到一些中学数学知识，主要有基本初等函数的图像和性质（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数）、常用的三角恒等变形公式 、数列求和公式、解析几何基本曲线方程等。但高等数学（微积分）的研究侧重点与中学数学不同，应注意以下几个方面：

1. 熟练基础知识的应用

高等数学与高中数学有一定的联系，但侧重点不同。高等数学重点讨论的是变量的函数变化关系及极限状态，以自变量的变化为例，就有以下不同方式，稍一疏忽就会得出错误结论.例如：

微积分的三大基本运算（极限、微分、积分）都是围绕函数来进行，要对基本初等函数的图像和性质非常熟悉，特别是三角函数的恒等变形、反三角函数的图像和性质（高中对反三角函数几乎不做要求，要及时补充加深反三角函数的知识），熟悉函数新的表达形式（如分段函数、取整函数、变上限函、数隐函数、参数方程表示的函数、用极限、导数或积分表示的函数等），特别是对复合函数变化趋势的分析和理解，都是建立在基本初等函数图像的基础上。

2.学习方法的调整和适应

中学阶段的数学课堂，主要采取老师讲为主，同学练为辅的教学模式。一般高中老师先讲清楚书上的概念定义，给出一些例题，同学在课堂上练习之后，再做些家庭作业用于巩固。还有周考、月考、期中、期末考等，这些过程实际上都是围绕着教学内容进行的知识巩固、强化、反复和提高.也就是说老师给你一种方法，你不断地加以练习直至掌握；而高等数学各种各样的定义性质及证明特别多，课堂上老师讲课速度也比较快。教学环节中缺少练习和消化吸收的过程（主动性、自律性强的同学还能及时练习巩固，很多同学习惯中学的学习方式，等待老师领着做题练习），学生不能及时巩固所学知识，而高数又有很强的前后联系，慢慢积累问题增多，高数就成了多数学生的学习中的障碍。要注意主动运用遗忘规律曲线进行复习和巩固

而课后的知识归纳和习题练习就能起到很好的巩固记忆的作用

3.抓住开始学高数的关键点--极限

高数教材中，注重学科逻辑体系，一般先给出概念、定义，接着列举相关性质及定理证明等内容，这些知识的数学语言描述比较准确，有严密的逻辑性和高度的抽象性，客观上决定了高数学习需要静心思考，在浮躁的心态下，很难把高数学踏实.

极限是微积分的工具，是高数学习中的一个重点，也是一个难点，它贯穿于整个微积分的学习过程。大一新生开始就要面对这一重难点，从思想上到学习方法上都没有做好必要的准备.以至于学习了一段时间后，产生的问题越来越多，慢慢地出现了畏难情绪.

学好了极限，函数微分学就比较容易了。

导数、微分、定积分、级数的敛散性和判断方法、多元函数的相应概念都是用极限定义的，教材中对基本导数公式，都是用极限和导数法则进行了系统的推导，只要熟记公式和复合函数导数法则，一般就能较好的掌握函数的导数、微分及其应用问题。准备考研的同学还要对微分中值定理、积分中值定理及泰勒级数下点功夫，要理解定理推导的思路和原理，并能应用于类似问题的证明。

从一开始就积极认真对待高数的学习，抓住极限这个关键点，熟悉不定积分的常见的题型、特点及运算，你就一定能学好高等数学。

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函数的敛散性方法？

判断反常积分收敛有四种常用方法：

1、比较判别源法

2、Cauchy判别法

3、Abel判别法

4、Dirichlet 判别法

一 、判断非负函数反常积分的收敛：

1、比较判别问法

2、Cauchy判别法

什么是广义积分的敛散性？

由敛散性的性质可得∫1/xdx=lnx，所以得到∫lnx/xdx=∫lnxd(lnx)=0.5(lnx)2代入积分的上下限正无穷和e显然x趋于正无穷时，lnx仍然趋于正无穷，因此广义积分是发散的。

定积分概念的推广至积分区间无穷和被积函数在有限区间上为无界的情形成为广义积分，又名反常积分。其中前者称为无穷限广义积分，或称无穷积分；后者称为无界函数的广义积分，或称瑕积分。

设函数f(x)定义在[a,b)上，而f(x)在x=b的任一左邻域内f(x)无界（此时称x=b为f(x)的瑕点）。若f(x)在任意[a,b-ε](0

类似可定义a为瑕点时的瑕积分。

又设c∈(a,b),函数f(x)以点c为暇点，那么当两个反常积分∫(a→c)f(x)dx和∫(c→b)f(x)dx均收敛时，反常积分∫(a→b)f(x)dx收敛。其值定义为：

∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx

=lim(ε→0+)∫[a→c-ε]f(x)dx+lim(ε→0+)∫[c+ε→b]f(x)dx,

否则该反常积分发散

x的x次方的极限？

ln(1+x)/x的极限等于1

极限的存在准则有夹逼原则和单调有界原则，这个知识课本上有，可以推出两个基本极限。

即x趋向于无穷，lim（1+n分之1）的n次方等于e

这个可以再推算出，当x趋向于0，lim（1+x）的x分之1次方等于e

lim1/x*ln(1+x)，利用对数的运算性质lna的b次方=blna，就可以推出原式等于limln(1+x)^1/x

利用刚刚推导出来的，原式等于lne=1

扩展资料

（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。

（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。

（3）函数在点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。

（4）数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。

（5）广义积分是定积分其中 为，任意大于 的实数当 时的极限，

x趋于0

lim (1+x)^(1/x)=e

两边取对数

lim ln(1+x)=lim log(1+x) e=x

所以原式得1

学柯西收敛准则有什么用？

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。扩展资料：反常积分：反常积分分为两种，一种是积分区间含有无穷大的反常积分（又叫做无穷限的反常积分），另一种是被积函数为无界函数的反常积分（又叫做无界函数的反常积分、瑕积分）。

因此相应的柯西收敛准则有两种，两种准则的描述有些区别，但都可以根据函数的柯西收敛准则来证明。

函数：考虑到数列是特殊的函数（即定义域为正整数集），可以猜想，函数的敛散性也应当有类似的结论，这就是接下来要说的函数的柯西收敛准则。