常见的等价无穷小(大学常用等价无穷小)

常见的等价无穷小，大学常用等价无穷小？

常用的等价无穷小一般有：

1）x趋向于0时：

sinx~x;

tanx~x;

1-cosx~(1/2)x^2;

arcsinx~x;

arctanx~x;

(e^x)-1~x;

(a^x)-1~xIna (0<a<1或a>1);

In(1+x)~x;

(1+x)^a~ax+1;

(x^m)+(x^n)~x^m (n>m>0);

lim(1+x)^(1/x)=e;

2）n趋向于无穷大时：

lim[n^(1/n)]=1;

lim[a^(1/n)]=1 (a>0);

lim[1+1/n]^n=e;

3）在必要情况下，采用泰勒展开的高阶等价无穷小：

sinx=x-(1/6)x^3+o(x^3);

cosx=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!+o(x^4);

tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3);

arcsinx=x+(1/6)x^3+o(x^3);

arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3);

In(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3+o(x^3);

e^x=1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+o(x^3);

(1+x)^a=1+ax+a(a-1)(x^2)/2+o(x^2);

无穷小的公式？

重要等价无穷小的公式：

（1）sinx~x

（2）tanx~x

（3）arcsinx~x

（4）arctanx~x

（5）1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1

（6）（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)

（7）（e^x）-1~x

（8）ln(1+x)~x

（9）(1+Bx)^a-1~aBx

（10）[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x

（11）loga(1+x)~x/lna

（12）（1+x)^a-1~ax(a≠0)等价无穷小注意：

可以拆成两个极限分别求结果，然后在加起来，所以相当于独立求两个的极限，你们两者爱怎么用等价无穷小怎么用，但如果只有一个有极限，或两个都没有。

用等价无穷小量的替换时，必须要整体替换。用泰勒展开式，来对函数在一点附近的函数进行近似，近似式的阶数越高，近

lnx和谁等价无穷大？

lnx等价无穷小代换变成x-1(x>1)

lnx趋近于x-1，其中x从正向无限趋近于1，此时不是严格的等价无穷小.

准确的说是趋近于1时的等价小。

扩展资料

等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意 单独代换或分别代换）。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件 ：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

有界乘无穷小的定理？

因为无穷小量是趋于0的，而0乘以任意确定的数都得到确定的0，0是可以比较大小的，这样由夹*定理得到极限依旧是0。

但是无穷大量却是不定的量，无法比较大小，也就无法确定极限。无穷大乘有界函数的极限可能是有限的数，可能还是无穷大，也可能不存在。

举反例如下：当x趋于无穷时，x为无穷大，y=sin（1/x）为有界函数，x乘以sin（1/x）时，极限等于1，这时候结果就不再是无穷大。



常用等价无穷小：

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x (x→0)

6、tanx~x (x→0)

7、arcsinx~x (x→0)

8、arctanx~x (x→0)

9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)

10、a^x-1~xlna (x→0)

11、e^x-1~x (x→0)

12、ln(1+x)~x (x→0)

13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)

14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)

无穷小乘有界函数等于无穷小。

用定义证明：

数列{Xn}有界，又limyn=0 证明 limxnyn=0

因为xn有界，存在正数M，使得|Xn|<M

又lim yn=0，根据定义有对任意ε>0，当n>N时，有|yn-0|<ε/M

所以当n>N时有

所以|xnyn-0|=|xn||yn|<M*ε/M=ε

所以lim xnyn=0

扩展资料：

常用等价无穷小：

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x (x→0)

6、tanx~x (x→0)

7、arcsinx~x (x→0)

8、arctanx~x (x→0)

9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)

10、a^x-1~xlna (x→0)

11、e^x-1~x (x→0)

12、ln(1+x)~x (x→0)

13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)

14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)

余弦函数与什么互为等价无穷小？

用二倍角公式：

cos2a=1-2sin²a

1-cos2a=2sin²a

所以：1-cosx=2sin²(x/2)~2×(x/2)²~x²/2

所以：1-cosx的等价无穷小为x²/2

二倍角公式简介

二倍角公式是数学三角函数中常用的一组公式，通过角α的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值。

二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。