平方和公式推导(连续自然数平方和公式推导)

平方和公式推导，连续自然数平方和公式推导？

自然数平方和公式推导：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6；利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n；2^3-1^3=2*2^2+1^2-2，3^3-2^3=2*3^2+2^2-3，4^3-3^3=2*4^2+3^2-4....n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n。

平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数，或金字塔数也就是正方形数的级数。平方和定义为2个或多个数的平方相加。通常是一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。

自然数的平方和求和公式是什么？

平方和的推导利用立方公式：

(n+1)³-n³=3n²+3n+1 ①

记Sn=1²+2²+....+n²， Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2

对①式从1~n求和，得：

∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1

(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n

这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6

类似地，求立方和利用4次方公式：

(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1

例如：

2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1

3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1

4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1

. . . . . .

(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1

去掉中间步，将右边第一项移到左边得：

2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1

3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1

4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1

. . . . . .

(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1

两边分别相加

(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n

1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3

整理即得

1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6

扩展资料：

常见数列求和的方法：

1、公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

2、错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)

3、裂项法

适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项。

sinA平方推导公式过程？

sina平方=1-cosa的平方=tana的平方/（1+tana的平方）。正弦是数学术语，是基本物理概念，是指对边与斜边的比。

sina²=1―cosa²=tan²/（1+tan²）

在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

sin平方的推导方法？

sin平方公式：sin²x=(1-cos2x)/2，sin²15=(1-cos30)/2=(2-√3)/4等等。

推导方法：

cos2x=1-2sin²x。

所以sin²x=(1-cos2x)/2。

所以sin²15=(1-cos30)/2=(2-√3)/4。

sin的平方、cos的平方、tan的平方的公式是：

1、sin²α+cos²α=1。

2、1+tan²α=sec²α。

3、1+cot²α=csc²α。

4、sin²α=(1-cos2a)/2。

5、cos²a=(1+cos2a)/2。

6、tan²a=(2tana-1)/(tan2a)。

n个数和的平方公式推导？

n个数的平方和公式：(n+1)³-1=3(1²+2²+。。。+n²)+3n(n+1)/2+n，平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数，或金字塔数也就是正方形数的级数。

平方和定义为2个或多个数的平方相加。通常是一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。

立方体边长分别为n、n+1、n+1/2，其体积为n(n+1)(n+1/2)，由于这个立方体是由三个同样的物体组合起来，则其中的每一个为n(n+1)(n+1/2)/3，即1方+2方+……+n方=n(n+1)(n+1/2)/3。