单元素集(为什么ZF公理系统要包含空集定理)

单元素集，为什么ZF公理系统要包含空集定理？

所谓，空集定理，就是：

空集公理：存在一个不含任何元素的集合，即，

∃X∀u(u ∉ X)

根据 ZFC 公理体系中的，

(1) 外延公理（Axiom of Extensionality)：如果 X 和 Y 拥有相同的 元素，则 X 与 Y 相等，即，

∀u(u ∈ X ↔ u ∈ X) → X = Y

我们可确定 所有 空集合 都相等，也就是说 空集 唯一，我们将这个唯一的空集 记为 ∅。

为什么说，空集公理 是 空集定理 呢？因为 它可以 从

存在公理：存在一个集合，即，∃X(X = X)

推导出来。

利用 ZFC 公理体系中的，

(3) 分离公理模式（Axiom Schema of Separation）： 如果 P 是一个 属性，则 对于任意 X 都存在 集合 Y 包含 所有 具有 属性 P 的 X 的元素，即，

∀X∃Y∀u(u ∈ Y ↔ u ∈ X ∧ P(u))

令，Y = {u ∈ X : P(u)}。

只需要令，P(x) := x ≠ x，其中 x ≠ x ↔ ¬(x = x)，“=” 来自 外延公理，则：

∅ = {u ∈ X : u ≠ u}

首先，存在公理 确保了 X 的存在，其次 在 外延公理 下 所有 u 一定等于 自己，和自己不相等的 u 不存在，于是 u ≠ u 是永假的，故，∅ 不可能 含有任意元素，即，∅ 满足 空集公理。

反过来，空集公理 确定了 空集 ∅ 的存在，根据 外延公理 有， ∃∅(∅ = ∅) ，这就推导出来了，存在公理。

所以说： 空集公理 与 存在公理 在 ZFC 公理体系中 等价，二者定义其一即可！

佛曰：空既是色，色即是空；

道曰：有无相生，此两者同出而异名，同谓之玄！

ZFC公理系统并没有直接包含，空集公理（或 存在公理），而是作为

(6) 无限公理（Axiom of Infinity）：无限集合存在。

的一部分，而引入 ZFC 的。

具体来说：

要定义无限集合 S，就先要有一个有限集合，无疑 空集 ∅ 是最好的选择，规定：

然后，利用 ZFC公理系统 中的，

(2) 结对公理（Axiom of Pairing）：对于任意 a 和 b 都存在 集合 {a， b} 恰好包括 a 和 b，即，

∀a∀b∃c∀x(x ∈ c ↔ x = a ∨ x = b)

根据 外延公理， c 是唯一的，称为 无序对，记为，c = {a， b}，特别地， x 和 自己 的 无序对 是 单元素集 {x}。

(3) 并公理（Axiom of Union)：任何集合 X 中所有的元素的并集 Y = ∪X 都存在，即，

∀X∃Y∀u(u ∈ Y ↔ ∀z(z ∈ X ∧ u ∈ z))

令，Y = {u : ∀z(z ∈ X ∧ u ∈ z) } = ∪{z : z ∈ X } = ∪X。

可以定义 集合 a, b 的 并运算：

a ∪ b = ∪{a, b}

再根据 并运算，定义 集合 x 的后继运算：

x⁺ = x ∪ {x}

接着，规定：

称 同时满足 以上 两个 规定 的 集合 S 为 归纳集。

显然，归纳集 是 无限集合，于是，无穷公理 就改写为：存在一个归纳集，即，

∃S(∅ ∈ S ∧ ∀x(x ∈ S → x⁺ ∈ S))

这样，∅ 是 归纳集 的第一个元素，无穷公理 已经就蕴含了 空集公理（或 存在公理）。[这里也就回答了题主的问题]

无限公理 仅仅是 保证了 归纳集 的 存在性，我们并不能确定 归纳集 唯一，事实上，存在无限多个归纳集。

令，

φ(x) = x 是归纳集

根据 分离公理模式，我们定义：

ω = {x ∈ S : ∀A(φ(A) → x ∈ A)}

称 这个最小的 归纳集 ω 为 自然数集。

（以下是小石头夹带的私货，不喜勿入！）

在集合论发展之初，原本只有两个条公理，除了 (1) 外延公理 外，就是：

(伪2) 推导公理模式（Axiom Schema of Comprehension)：对于任何 属性 P 都存在 集合 Y = {x : P(x)}。

(伪2) 和 (1) 分别对应 哲学中 一个概念 的 内涵 和 外延。

本来一切都很美好，直到 罗素发现了，罗素悖论：

Y = {X : X ∉ X}

这里的 Y 显然 不是一个 集合。

罗素悖论的通俗版就是 理发师悖论：

一位理发师声称：“我只为不给自己刮脸的人刮脸！” ，那么 他能不能给他自己刮脸呢？

如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸；如果他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸！

他给不给自己刮脸都会产生矛盾！

于是，数理逻辑学家 不得不 用 ZFC 公理中的 (2) - (9) 替换 (伪2)，这才产生了今天的《公理集合论》。

另一方面，值得注意的是：

(伪2) 中 的 Y 作为以 P 为内涵的 概念是 实实在在存在，我们不能否认，只不过 Y 不一定 是 集合（set），我们称之为 类（class），并 将 (伪2) 改为：

(0) 概括原则：对于任何 P 都存在 类 Y = {x : P(x)}

这个 (0) 作为 类的定义 被 《公理集合论》采用，但 不算是 ZFC 公理，这有点灰色地带的意味！

任何集合都能用列举法和描述法表示吗？

不是所有的集合都可以用描述法来表示的。

能用描述法表示的集合，元素的公共属性应该很容易描述，

比如：A={1，x²+1，

北京}，就是一个集合，但无法用描述法表示，先写个X，再写个竖线，然后再写要表示的数学特征。

例如： 小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π}

描述法是集合的常用表示方法。

描述法的定义：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。

你觉得斗罗大陆中五元素学院中的五位队长谁的天赋最好？

斗罗大陆动画中五元素学院的五位队长分别为：象甲学院呼延力、炽火学院火无双、天水学院水冰儿、神风学院风笑天、雷霆学院玉天心。依次来看，我认为天赋从强到若排序是风笑天、水冰儿、玉天心、火无双、呼延力。

呼延力：属性土，武魂钻石猛犸，是一种防御系武魂，其本身没有特别强力攻击手段，攻击上有所缺乏，虽然有一块头部魂骨，但也是只有防御功能。呼延力本身在比斗中也没有特别突出表现，因此天赋算不上顶尖。

火无双：这个人物动画中并未详细介绍，其为火舞的哥哥，从原著描述来看其天赋及实力是逊色于火舞的也比比不上处呼延力外的其他三位队长，所以将其排在第四。

玉天心：武魂蓝电霸王龙，为顶尖兽武魂。战力强悍，动画中与戴沐白两败俱伤。但是其除武魂外没有特别出名强力的攻击手段，因此排在第三。

水冰儿：武魂冰凤凰，极品兽武魂。她与玉天心都具有极品兽武魂，但之所以将其排在玉天心之前是因为其除了有强大武魂外其有及其强力的魂技已经武魂融合技能，足以说明其修炼天赋极为强大，以至于可以和唐三战斗得两败俱伤。

风笑天：武魂疾风魔狼，武魂并非极品武魂，但却是是变异武魂双头魔狼，也是十分强大。之所以能排第一，原因有三。第一，他带领神风学院打败过水冰儿的天水学院；第二，他自创的疾风三十六连斩基本可以与昊天宗乱披风锤法相斗，可见其天赋强大；第三，他是唯一在比赛中逼迫唐三使用出昊天锤的人。因此将其排第一。

矩阵只有一个元素是表示什么？

单元素矩阵表示向量，不是一个数。是一元一维的。（a,b）就表示两元，如果他们都是3维的那么就是3行2列的矩阵。一维一元看起来是数字，在数学上是不等于数字的，尤其在几何上。几何上数字表示长度之类的，不能表示位置。

行列式本身是一个数字，不关n行n列，还是1行1列，结果都是一个数字

碳的成分是什么？

碳元素与硅元素及造碳元素

碳元素与硅元素它们的三夸克组合体，全部是同样夸克组成的，这种夸克是电子组成的，它们也叫电子夸克。硅元素以二氧化硅存在于土里，只要遇到水就会使植物的根系，将二氧化硅吸取到植物体所有的细胞内，提炼的硅元素以单夸克存在，同时植物的叶子将空间的的二氧化碳吸取到植物体的所有细胞内，提炼的碳元素同样也以单夸克存在，这就是植物从土里、空间里将含电子夸克的元素集合在它的体细胞内的功能，当植物体经过封闭的高温区域，它的所有细胞内的废夸克就会跑出，细胞内只留下恰巧结合为碳元素的夸克，这些夸克迅速结合为煤或碳，这就是植物体造碳元素的实质。在地球上植物体就是加工碳元素的器械，黄土里的二氧化硅和空气里的二氧化碳为原料。这就是碳元素有名的来源之一。其它来源就是组成地球核的夸克串缝隙里挑选的电子夸克，结合天然气里含的碳元素。再者就是造含碳元素的难燃燃料的原料天体，它是先用的天体力达到能组成夸克的所有正负电子，吸到组成天体力的专门吸电子的球交电力线上，由于球交电力线是正负相邻均匀排列的，那么它上对应排列的异性电子串必然也是正负相邻的，就在这时电力线的电力稍微加大些（电力线上的电子，由于虹吸现象，就会吸电力线上的电力达到相等，并且保持电子达不到饱和状态，不能转化光子的目的即可），正负相邻排列的电子串上的正与负电子，就会像靠近似的一一对应着合在一起，成为异性相吸成的电子对串，其实电力线仍然保持原位置，只是正负电子异性相吸为电子对串，处在两根电力线中间，此时电力线的电力又要稍微加大些，此时的电力线力达到中间的电子对串，迅速变化为均匀排列的大小圆球连串，并且以大小球为单位将串几乎断开状态，此时成为大小球组成的葫芦形状的串，此时的葫芦串几乎保持直线状态，当电力线上的电力取消，出现自由的葫芦形状单体，稍微不整齐的围绕电力线存在着，这就是造成的电子夸克。下一步就是用电子夸克来排列碳元素的过程。

这里说明，用天体力造夸克，首先排列电子，它用的电力线，是预先准备好的电子夸克的外围绕其转的电微子产生的核能，由于电微子上的包裹电力线达到饱和时就会吐出成核能，这些核能连成的串就是排列电子用的电力线，这些电力线发射成大型天体力电力线，是靠夸克上的电微子发射出去的，这些电微子的微粒单独存在（这也是飓风旋转力达到将电子夸克全部分解成它本身的电微子的微粒），这些电微子微粒随飓风圆周运动，它的体上聚集核能并发射出平行电力线，这个电力线在这里无用，飓风旋转中心同时发出球交电力线，在这里该电力线是主要应用的电力线，用这个大型电力线先排列电子，造成电子夸克，然后再将电子夸克排列成三夸克组合体即中子或质子，然后再继续将中子与质子排列成所需要的原子核或原子，始终依靠着球交电力线上准确的电力量来进行的。由于碳元素夸克是等数量的正负电子组成了电子对，再由电子对组成电子夸克，电子夸克组成了碳元素，并且碳元素在高温条件下，就能直接发出电子，所以碳元素也叫电子元素，比如硅元素同样是电子夸克结合成的，但是同样在高温条件下不能直接发出电子，只有与水结合并且用植物根系输到植物体的所有细胞内，在细胞内才能变成自由电子夸克，在用高温条件将细胞内的废夸克排除掉，留下单纯的电子夸克自然结合成碳元素，此时的碳元素原子仍然处在排列好的植物体细胞上，这样整个植物体形成了煤，煤的粒子结构就是植物体细胞内含的碳原子，由于植物体上的细胞大小不等，所以从土里输到细胞内的电子夸克数量也不等，最后形成的碳元素的原子个数也不等，但是细胞之间的结构保持原状，那么细胞变成的碳原子集合体之间的结构仍然保持植物细胞之间的结构模样，这就是煤的组成结构。天体上排列的碳元素原子，形成的体是比较标准的几何体矿石，如金刚石就是天体力排列的碳元素原子。

天体力排列碳原子天体

飓风旋转力将备用好的碳物质粉碎成的粒子，粒子微小程度直至达到比夸克更小的电微子状态，此时电微子上的双扭曲包裹电力线，达到饱和时吐出成自由核能，堆积在微子本身周围，并且将多余的核能被飓风最大旋转面中心处出现的微小吸力吸去，聚集在中心，当微子本身和最大旋转面中心聚集的核能达到飞跃状态时，就会以核能连成的串即电力线发射出去，各微子处在圆形的旋转面上发出的大型立体定长平行电力线，组成圆柱形状，同时最大旋转面中心发出的与立体平行电力线重合相套在一起的球交电力线，其中立体平行电力线在这里不能用，只用到球交电力线，平行电力线上只能排列同电性的粒子，当电力线上的电力消失后，粒子就会同性相斥 自然飞出，所以它不能排列粒，但球交电力线是正负相邻均匀排列的电力线，它上面排列的电粒子形成电粒子串仍然是正负相邻的，并且位置上的粒子异性电的一一对应，就靠这种特点，很方便的在排列状态下稍微靠近，就会异性相吸成制造的粒子，所以用球交电力线和它上面的准确电力来完成各种各样的粒子结合体。对于碳元素从始至终的排列就用的这种球交电力线完成的。当用电微子粒子，建立成大型的天体球交电力线时，再将电力线上的电力稍微减少尺对成产生电子的力，此时的飓风旋转面上几乎全部成为正负电子，就在此刻正负电子飞般的进入到相应（正电子与负电力线相吸）的电力线上并且排列成电子串，此时的球交电力线变成了球交电子串，由于球交电力线的特点，使排列成的正负电子串上的正负电子的位置，形成一一对应状态，就在此时电力线上的电力稍微加大，使对应状态的正负电子稍微靠近成为电子对串，存在于两个电力线中间，就在这时，电力线上的电力再次稍微加大，使电子对串上的对电子，快速组成大小两种圆球，大球体积是小球体积的两倍，大小球上下并列排列成串，仍然保持在原位置上，就这刚排列成大小球直线串时，电力线上的电力又稍微加大，使大小球串上的大小球，稍微分成以每个大球与小球合为一体，像葫芦形状体连成的串，这些葫芦形状体就是夸克核，由于它是电子组成的，所以叫电子夸克核，它的周围进入电微子绕其旋转，这就是完整的电子夸克，就在此时正负电力线上加上巨大的电力，使这些葫芦形状的夸克明显的分出隐形的正负电性，由于夸克核是正负电子异性相吸成的电子对，再组成夸克核的，所以夸克核是不显电性的，但是各个夸克核仍然含有不定那种隐形电存在，隐形电的量是组成夸克核用的所有正电子电量之和的电量，或者是所有负电子电量之和的电量，就在特大力的正或负电力线吸力作用下，正隐形电夸克核迅速靠在负电力线上，负隐形电夸克核迅速靠在正电力线上，就这样又组成了隐形电的正负相邻夸克串，就在这时电力线上的电力又要加大，使串的缝隙里的自由正负夸克极速同向吸到它所对应的夸克串上，与本串上的结合为正负隐形电的夸克对，由单夸克串变为夸克对串，此时两个夸克对串中间的缝隙更小，就在这个微小缝隙里存在着杂乱的正负夸克自然的首尾异性相吸成串（靠夸克上的包裹电力线的平行部分上下异性相吸成的），此时取消电力线上的电力，每根电力线上的成对夸克串上的夸克对，与它中间单体夸克串上的单夸克，从位置上它们与两个异性成对的夸克串形成有规律的一一对应关系，并且单夸克串上的夸克与双夸克串上的双夸克异性相吸，由双夸克串变成均匀相间的三夸串，同时均匀相间的三夸克串缝隙仍然存在着许多正或负夸克，这些正负夸克自然到它的异性隐形电双夸克位置上，就这样将均匀相间的三夸克串填充成三夸克组合体串，当电力线上的电力稍微减小，三夸克组合体就会自由稍微动些，此时这些电力线模型上的三夸克组合体按存在着的一一对应位置靠近，形成六个夸克组合体串，此时电力线上无粒子，电力线上的电力又稍微加大些，缝隙里的夸克又像原样排列到电力线上，最后又造出六个夸克组合体的串，就这样周期性的在电力线上一共排列六次，每次排列在正负相邻的电力线上，在移动到电力线中间，此时正负电力线中间存在着十二根三夸克组合体串，其中六根正隐形电，六根负隐形电，此时将电力线的电力俱增，使电力线长度猛的增长，该电力线的缝隙里存在着的大量的隐形电夸克，就要按照电力线中间的正负十二根三夸克组合体串模样，向上接，一直接到电力线的顶端，此时按照需要和天体的局限性，若将电力线加大电力，电力线就会照原样增长，电力线中间的正负十二根三夸克组合体串，仍然增长，这些串组成了球交天体，它随着电力线增加而增加，此时电力线上的电力加大，正负十二根三夸克组合体串上的每个三夸克组合体，先是异性相吸成六根六个夸克组合体串，就这时电力线力加大，这六根六个夸克组合体串就要迅速结合为圆球形状，并且仍然成串，这就是碳原子核，此时整个天体成为球交碳原子核串，若将电力线上的电力取消，只剩下不显电性球交碳原子核串，此时碳原子核上自然排列电子，成为碳原子串，这些碳原子串冷却固定好，组成了碳元素的原子天体，这种用天体力造成的含纯碳元素物质是矿石类，如金刚石就是这样造成的，有时同元素的原子，在电力线上排列的几何形的原子结构不同，形成的同种原子的矿石物质，存在着不同的几样原子结构，这就会出现矿石的颜色和质量的区别，这些碳元素矿石大都是难燃燃料，用在太阳上的。如木星是一个太阳性质的天体，在它的太空上带各种颜色粉末云雾，就是不同颜色的难燃燃料矿石，由飓风将它粉碎成面，再卷到太空形成的木花纹形状的粉末云雾。

补充组成碳元素夸克

在葫芦形状的夸克外存在着许多绕其转的电微子，电微子的形状是三个等球串，它上面的包裹电力线是扭曲两次的立体平行电力线和它外套的扭曲两次的球交电力线，当达到饱和时吐出成自由核能，这些核能由飓风旋转力使碳夸克分解出电微子，在旋转面上将核能发射出去，形成大型的立体平行电力线和它外套的球交电力线，这就是电微子电力线，用来造碳元素原料天体的。在这个大型球交电力线上先将正负电子吸到它的异性电力线上，使球交电力线变成球交电子串，再多次加大电力线上的电力，最后使电子串变成葫芦形状的夸克串，此时的球交电子串成为球交夸克串，这些正负相邻的夸克串之间的正负夸克是一一对应的，串缝隙里存在着大量的夸克，，，，按夸克的隐形电性吸到它的对应异性同向（粒子同向是看它的包裹电力线形状确定的）夸克上成为双夸克串，整个球交夸克串变成球交双体夸克串，此时双体夸克串中间缝隙变的细微，在电力线的作用下，只可以使异性的隐形电的单体夸克，以平行部分的电力线首尾异性相吸成串，并且该串上的夸克方向与双夸克体串上的夸克一致，此时电力线上的电力加大，使中间的单夸克串上的夸克，各自靠近它的异性电双体夸克串上的夸克，并且合在一起，此时正负相邻的双夸克串变成三夸克体与双夸克体均匀相接的串，整个球交都是这种串组成的，串上的这些三夸克组合，必然存在着两个正隐形电夸克和一个负隐形电性夸克，此时串缝隙里杂乱无章的正负夸克，就要与串上的双夸克体异性相吸成为三个夸克组合体，就这样串上的双夸克体全部填充，整个球交串变成了三夸克组合体串，成为球交三夸克组合串，此时电力线上的电力增大使电力线增长，缝隙里的正负夸克按三夸克排列模样进行排列在电力线上，就这样排满电力线，又加大电力再增长电力线长度，再排列三夸克组合体串，由于天体量的局限性，就停止加力，此时整个天体都是球交三夸克组合体串组成的，此时再加大电力，这些同向（是指包裹电力线的平行部分电力线的正负方向）三夸克组合体，就会自由移动，然后电力线再加大力，使这些自由的同向三夸克组合体，按照一一对应的位置，在缝隙里靠近异性相吸成六个夸克结合体串，此时缝隙里的杂乱无章的夸克，到它所对应的异性电力线上，重新排列成正负并列存在的三夸克组合体串就这样排列六回，最后在恰当电力条件下，合体形成原子串，这就是碳元素的天体。另一造法，就是这些三夸克组合体串仍然在电力线上，这些三夸克组合体串是正负相邻并列的，串上的三夸克组合体也是一一对应的，就在并列的正负三夸克组合体串之间的缝隙里，又出现许多同样的正负夸克，这些正负夸克按照该串上的组合夸克体模样，复制出许多同样的三夸克组合体，就这样产生出无数的三夸克组合体，此时电力线又一次加大力，这力能使这些堆在串缝隙里无数的三夸克组合体，达到能按照组成碳元素所需要的三夸克结合体的个数，自然结合为圆球体的碳原子核，此时电力线上的三夸克体串仍然保持原状存在着，不同电力的电子，飞般的到达它所对应的距原子核远近不同的轨道上，绕原子核转，这就造成了天体碳原子，同时电力线加大电力，缝隙里的碳原子一个一个的有规律的排列在电力线周围组成的平面各种几何形角的顶端，同种物质它几何形面全部平行全等，所有的相互平行几何图形面的各个顶角连线，它们是相互平行的，并且它上面的原子都像连成的串都与电力线平行，整体上的各原子好像有规律排列在某种立体几何体的顶角上，组成某形状的晶体。碳原子的结构是有规律的几何形状，是牢固的晶体，这就是碳元素的矿石，也叫难燃燃料，它不像植物体转化的可燃燃料即煤，煤的碳原子之间的结构完全是植物体的细胞结构，它的组成是纯碳原子，是可燃燃料。易燃燃料即干燥的植物体，它直接是含电子夸克和其它杂质夸克的合体存在于细胞内，它的结构仍然是植物体细胞的结构，若碰上火里的发光球接触夸克上的包裹电力线，就会直接使电子上的包裹电力线点燃，发火发光发热，所以它是易燃燃料。