哥德尔不完备定理(为什么复数域是完备的)

哥德尔不完备定理，为什么复数域是完备的？

由于复数没有大小，因此确界原理和单调有界原理在复数域中并不成立。

其他的都成立，由于复数域可看作与R^2对等，而在R^2中余下的那些性质是成立的。

完备性也称完全性，可以从多个不同的角度来精确描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考代数闭域(algebraically closed field）、紧化(compactification）或哥德尔不完备定理。

东方精神的基本内容是？

正如一切历史事件一样，今日中国的传统文化回暖，只是大趋势的表象。而这一现象的“元原因（meta-reason)"是否与的现象本身的精神相符合，却是未定的。从某种意义上讲，当下的中华文化复兴背离了＂东方精神＂。但同时，真正的＂东方精神＂能够为解决人类当前的困境指出一条极有价值的新道路。

＂东方精神＂的本质绝对不只是琵琶或汉服这么简单。她生于一种完全不同于当前社会的历史境况之下，有着一种完全异于当今价值观的诉求。但是在历史进程的节律之中，她与我们当前的困境与痛苦，有着深刻的联系。

＂东方精神＂诞生于一种文明的孤寂之中，她在自己刚刚诞生不久就洞见了自己的孤独与局限。东方文明发现自己踏不出高山，荒原或海洋。他寻找着能与之对等的文明，或为敌或唯友，皆可为伴，却只看到野蛮的马上民族，像是赶不走的牛虻。所以，东方文明所要解决的问题并不是力争上游，在文明的战争中成为胜者，而是在黑色的边界之内，把文明的火维持下去。

东方的思想家，与今天不同，不试图思考如何让社会更加繁荣，富裕于只会带来不安定。在这文明的四壁之中，再多的财富也无人可炫耀。他们思考的更多的是和谐的问题，在现有的空间内，与大地之母融为一体。

东方追求的禅定，道法自然或是天人合一，与西方所追求的超越，真理，本质，是截然不同的。真理是一种知识，是一个命题。而道是一种状态，是人类心智的一种平衡。所谓＂超脱＂即是一种外界刺激无法打破的心态均衡，一种绝对的心流。这种精神的追求正是东方所面临的历史境况的反映。

这种精神的追求正是东方文明所面临的历史境况的极好的反映。在等待着兄弟文明的造访漫长的黑夜中，在王朝与外族的潮涨潮落之中，在历史的轮回与往复之中，在数千年如弹指一挥间的平淡之中，东方文明开始反求诸己，他闭上了自己的双眼，钝塞了自己的双耳。终于文明平静了下。

而当西方文明将整个世界联系起来之后，东方世界被迫陷入了无法逃避的文明之战中。禅房的门被踢开，穿着军靴的是士兵将刺刀对准了打坐的僧人。于是，东方文明遇到了与西方文明同样的处境：在进化的剪刀下生存下来的战争。进步，富裕，强大就是一切，就是最高的善。

在这令人疲惫的战争中，生产力是最高的伦理。这种挑战所需要的响应，就是建立开放社会，在法律的保护下，给予人自由创造的空间，用自由市场消费主义，刺激一切人增加生产力的欲望。在愚蠢的循环中，在消费主义的无意识中，文明走向繁荣，走向强大。于是手段反噬了目的，文明的第一伦理是生存，这是亘古不变的主题。而在西方精神式的文明战争中，我们将用以生存的手段当作了我们的目的。进步，成了最高的道德。

当我们超越历史的景观文明的进展，我们会发现：不同的历史境况，决定了不同的文明精神。是竞争创造了开放，是局限创造了和谐。新文化运动时期引入的美国实用主义逐渐改变了东方文明中，中华文明的内心精神，正是这种新的精神塑造了中华人民共和国今天的繁荣。而印度刚似乎迟迟没有走出自己的东方精神。

然而，时代变了。是尼采朗读了上帝的讣告以来，西方文明发现了自己的局限，理性是不完备的，是无法穷尽极限的，哥德尔不完备定理宣判了无限进步的凯歌。一百五十年后，人类达到了地理的局限，文明趋向融合，但却找不到新的朋友，在地球这颗尘埃之中，我们是孤独的。数千颗核弹告诉我们，今日的繁荣是针尖上的水晶宫殿。向前飞奔，我们己摘尽的下垂之果；驻足当下，我们发现己如履薄冰。追求进步，也许只会加速的毁灭。我们终于来到了我们文明空间的边际。

此时，我们也许当回首看看在局限之内生存的千年的东方文明。他们与存在同在追求着恒久，追求着生生不息，追求的天人合一，追求的鸡犬相闻，老死不相往来的桃花源。我们也许己被迫走在通向＂东方精神＂的路上。这不是纵欲者的乌托邦，但也许是我们将文明之火延续下去的唯一方式。

如果这个世界真的是虚拟的？

这个问题乍一看似乎有点儿蠢，但其实大有学问，说实在本鱼对这方面的知识也是一知半解，但因为确实太有趣了，所以想要介绍给大家了解一下。

我们把问题稍微调整一下，变成这种形式帮助理解：如果我们可以用超级电脑编一个虚拟世界，能否在其中彻底消灭病痛？

答案是

不能！至少以我们目前的计算机不可能实现，就算是在虚拟世界中也依然会存在无法解决的逻辑漏洞，从而导致出现病痛。

为什么？因为这在数学上获得了证明，这就是大名鼎鼎的“哥德尔不完备定理”。

让我来慢慢解释给你听，这到底是什么原理。

如果你对数学有兴趣的话，可能听说过一个非常有意思的事，数学上有很多复杂的问题得到了证明，但是也有很多看似非常简单的问题没有人能回答，比如说——质数的公式。

质数（或素数）就是在自然数中，只能被1和它自己整除的数，相对的另一种占绝对多数的就是合数，比如3是质数因为只有1和3可以整除，但4就是合数因为有1、2、4三个数可以将它整除。

数学家到现在也没有找到质数有什么规律，也无法构造一个公式可以直接把所有的质数算出来，这让数学家感觉非常苦恼。因为寻找这个公式的过程就像是无头苍蝇在乱飞，有没有什么方法可以找到一些“非常特别”的东西，足以解决所有的数学难题呢？

这种感觉就像是很多喜欢冥想的人都想过的一样，能不能找到埋在数字下面的，某种数学宇宙中的真理？比如在人类认识化学的本质之前，所有的化学实验都像是瞎摸索，只有在真正认识到元素、原子的本质，通过能量守恒定律与质量守恒定律规范化学反应的全过程后，化学家才算是真正驯服了这些要命的小东西。

也就是说，化学再也不是各种奇奇怪怪的颜色变来变去，想要知道会发生什么就一定要去试一试的、在黑暗中摸索的科学了，多数化学反应都可以实现“先理论预测，再实操验证”了。

然而数学还处于一片黑暗中，数学家急切地希望可以构建出一个“万能公式”，可以轻松解构所有的数学难题，就像是给一片密林标注清晰的坐标，以后再想去哪里都可以直奔目标，不用再依赖于类似“遇到最大的一块石头就向左走”、“路口有两棵树时就向较小的那一颗走”这样的指路方法了。

这是在1900年，著名数学家希尔伯特提出的美好愿景。

那么这样的设想有没有投入实用的可能呢？

在部分场景下是可以的，我们的计算机用的就是将复杂的问题解构成小问题，再通过高强度的计算解决。

算数的本质其实就是逻辑运算，比如加减乘除本质上都是一种算法——加法；减法就是加负数，乘就是连加，除就是连减。而加法的本质又可以解构为“遇到相同的就积累，遇到不同的就抵消”，也就是1+1=2，1+(-1)=0。逻辑之间是存在简洁而有效的相互关系的，比如真命题的反命题就一定是假命题，这个假命题的反命题一定又是真。

早期的计算机就是通过逻辑机械机关的设计，将数字化为二进制后用最基础的“与、或、非、异或”等逻辑实现了基础计算的复现。

当然了，包含“与、或、非”的逻辑是一个非常简单的逻辑算法，广阔的数学世界有很多其它运算方式，其中包含的逻辑也非常复杂。数学家希尔伯特想做的就是将所有的自然数数学运算都总结为一套逻辑算法，然后通过解构将数学中的所有难题变成逻辑语言直接计算。

如果可以实现的话，就可以用特制的计算机算出难题。比如说“只能被1和自己整除的数”就可以改写成一个逻辑表达式，然后用计算机直接输出它的公式。但是要想进行这样的计算，就必须保证这个逻辑世界是非常完美的，是一个非黑即白的世界。

但是非常不幸，这个美好愿望被一个叫库尔特·哥德尔的年轻人击破了，他构造了多达46个概念和定义，将自然数的计算化为了逻辑符号，然后用它们构造了一个命题；这个命题的意思是“本命题不可证为真”。这个命题的存在导致无论证明它是真还是假，都会出现自相矛盾的逻辑漏洞。

也就是说，含有自然数的逻辑世界是不完美的，不是一个黑白分明的世界，这里充斥着很多无法给出绝对判断的事件。

而非常糟糕的是，我们的计算机使用的就是一个由自然数构成的逻辑，这被称为“一阶谓词逻辑”。在这样的逻辑构成的世界中，有很多事是描述不清的，比如我想用逻辑编辑一条“身体只吸收有用的，不吸收有害的”的指令。那么这个指令是一定无法构造得滴水不漏，总会有一些东西通过逻辑无法判断出它到底是有用还是有害的。

这也就是为什么没有一劳永逸的防火墙或杀毒软件，自然界为什么存在病毒的根源了。虚拟的世界也无法保持绝对合理与稳定的运行，它与现实世界一样必然存在bug与漏洞，无法被彻底消灭。

我是酋知鱼，一个害怕本篇哪里说错了的科学作者，弱弱地欢迎关注。

双缝干涉延迟选择实验是怎样的？

导读：物质世界是客观的，物质决定意识，意识可以反作用于物质。意识毕竟是依赖物质和能量存在的东西。所以量子力学的诸多诡异，只是我们了解这个世界还不够清楚而已。

惠勒的延迟选择实验得出了一个恐怖的结论“未来可以决定过去”。换句高逼格的话就是“我们选择了这个宇宙，之后宇宙才创造了我们”。

双峰干涉实验

对于这个实验大多数人都是熟知的，在高中的时候都接触过这个实验。这个实验的目的是想证明光的波动性，结果也是如愿的看到了自我干涉条纹。为什么量子力学关注这个双峰干涉实验呢？科学家在“光子到底是通过了哪条缝隙”的问题上发了难，量子力学哥本哈根学派给出的解释是：光子既不是通过左缝，也不是通过右缝，而是同时通过了两条缝隙。这种说法一经提出爱因斯坦第一个站出来反对，并把这戏称为“上帝掷骰子”。

惠勒延迟选择实验

“延迟选择实验”其实是双缝实验的变形，惠勒根据半镀银的反射镜有50%的可能性反射或透射光子的特性，将其代替了双缝。首先把半透镜P摆成45度角，那么光源发出的光子将分为两路，PA反射，PB透射。在反射和透射的光路上各放置一块全反射镜A和B，使光子经过反射之后，两条光路交汇到C点，然后进入探测器。

第一次实验，红圈C点不放置半透镜，光子从激光源射出，通过探测器发现，一半的光子进入了探测器X，另一半进入了探测器Y。这说明，50%的光子走了PA路，50%走了PB路，显然可以确定光子所经过的条路径。

第二次实验，红圈C点放置半透镜P´，PA和PB每条路径的光子将再分为两路，意味着交叉垂直的两路光又合并到了一个方向，这会造成光子的干涉，探测器X和Y处都会看到干涉条纹。即使光子一个一个发射，干涉条纹依然存在，同双缝干涉实验一致，说明了每个光子是同时走PA和PB两条路径，到达C后再与自己发生了干涉。

通过调整相位，完全可以使得在一个方向上的光子呈反相而相互抵消。此方向上的探测器X将无法探测到光子，另一方向上的探测器Y则必定会探测到光子。

总而言之，若不在C点放置半透镜P´，则光子就单独沿着某一条路径而来，反之在C点放置半透镜P´，光子就同时经过两条路径。但如果在光子经过第一块半透镜P和全反射镜之后，在C点放置半透镜P´，结果还是只有探测器Y能接收到光子，这意味着放置半透镜P´的行为改变了光子最初所走的路径。也就是说，现在的行为改变了过去。

惠勒延迟选择实验表明，任何一种基本量子现象只在其被记录之后才是一种现象，历史不是确定和实在的，除非它已经被记录下来。光子在通过第一块半透镜到第二块透镜之间到底在哪里，是一个无意义的问题，它也许不是一个客观事实。

正文分析，摘自量子力学科普书籍《见微知著》：

实在性是指客观世界不依赖于意识而独立存在。然而量子力学的结论是惊世骇俗的。玻尔认为，在量子粒子世界，所谓的定域性是不存在的，而实在性，从物理学角度也是无法确定的。

甚至于在量子力学里，人们会认为一个量子行为的确定与不确定，必须要有意识参与，也就是人参与。比如在没有看到薛定谔猫的情况下，认为猫处于生与死的叠加态。一旦我们看到了，猫的生与死，就是确定的。这个观点其实是错误的。我们在前面的章节中有过论述，题目为《薛定谔的猫是不存在的！》，不懂的可以去阅读一下。

量子力学的这种理论是大多数人所不愿接受的。我们一般会毫不犹豫的认为这个世界是实实在在存在着的，我们看到的一切东西，都是实实在在的存在，并不会因为我们意识不到就不存在。

为了维持世界的“确定性”爱因斯坦提出隐变量理论，他认为，我们不清楚，不明确粒子的行为是因为暂时还没找到隐藏的变量，粒子其实和乒乓球一样是经典实在的。但后来我们也知道了，贝尔不等式的实验结果，不支持爱氏的隐变量理论。支持玻尔的理论。

然而在爱因斯坦诞辰一百周年的纪念大会上，他当年的助手惠勒提出了一个天才的实验。实验首先假设哥本哈根学派的“意识”理论是正确的。

首先发出一个光子，在其行进路线上设置一个半透镜，那么光子会叠加地同时沿两条路径前进。再将两路光线会合。如果不选择观测，则光子会在屏幕上打出一个点。如果再加入一面半透镜，即人的“意识”选择观测，则会在屏幕上打出干涉条纹。

一切都按惠勒的设计完美地进行，人们精确地在光子通过了第一面半透镜即将打到屏幕前突然加入了又一面半透镜。人们紧张地等待着结果，神奇的现象出现了，屏幕上果然打出了干涉条纹，由于加入第二面半透镜的行为是人的意识可以随意控制的。意味着人的“意识”可以改变事物的历史。

关于这个实验更通俗的解释，还可以这样来说。【电子双缝实验】电子似乎是能知道我们是不是在观察，然后选择怎么穿过细缝？

那我们就延迟观察：在电子穿过缝隙之前先不观察，到它穿过之后再决定要不要观察，这样电子穿过细缝的时候就无法确定人类会不会观察了，我们不就可以准确的知道电子是怎么穿过细缝了？

但这个惠勒延迟实验的结果是：即使我们延迟观察，在电子穿过细缝之后再进行观察，电子还是呈现粒子性（只通过一条细缝）；不进行观察，电子依然呈现干涉条纹（一般认为同时通过两条细缝）。

于是大家认为结果意味着，我们现在的选择（观测行为）改变了电子过去的“选择”。也就是认为电子穿过细缝后，再重新选择如何穿过细缝。也就是说，我们可以在事情已经发生之后再来决定它应该怎么发生——无论是否事情的结果在逻辑上已经在一段时间以前被决定！

各位，如果你真的就赞同了惠勒延迟实验所得出的结论，我认为你们就是人云亦云了。你们自己其实没有去想这个实验的细则，只看别人得出的结论了。

电子双缝实验大家已经很清楚了，出现干涉条纹的条纹必须通过两条缝隙，单缝隙是不可能的。

而延迟实验，是为了看到电子是如何通过双缝的。这样好来解释那种神奇的现象：“一个电子同时通过两个缝隙！”

但这是假象，我在电子双缝实验解释中说了。就说是惠勒的延迟实验，也没有哪个实验说看到了电子同时穿过两个缝隙！没有任何一个延迟实验看到这样的景象。惠勒延迟实验只是反映出结果，没有过程。没有过程的结果，就导致现在人们的认识——现在的行为能影响过去的结果。

也就是说，惠勒延迟实验，当对电子不进行观察，电子依然呈现干涉条纹。观测时，不呈现干涉条纹。这和普通的电子双缝实验的结果有区别吗？很显然结果是没有区别的。

所以你不能说，当我们观测的时候，一个同时通过两个缝隙的电子，又重新选择了只通过一个缝隙，而不发生干涉。这是很明显站不住脚的。这是我们的猜想。

除非我们确实看到电子同时穿过双缝后，我们介入观测，发现它突然诡异的拐回去选择只通过一个缝隙！

可是事实是没有任何一个实验声明，我们看到了一个电子同时穿过两个缝隙。我是如何解释电子双缝实验的，不知道大家还记得吗？很长的论述，其实主要得出两个电子双缝实验的解释。

1、单光子，单电子可以发生干涉，而且是自我干涉。粒子会同时表现出粒子和波的性质。但一个电子的干涉可以忽略不计，也就是你观测不到。但一个个发射，干涉条纹会出现，这是量变到质变的认识。

2、关于观测影响实验结果，我的解释是——定向影响。而且是有序的定向影响。无序定向影响是不能使得干涉条纹消失。所以在这篇文章中我否认了意识决定实验结果。意识是一种“客观的定向影响”，这种概念不是说意识影响了实验结果，而是参与了实验。

如果赞同意识影响实验结果的话，人和一台相机是没有区别的。可是没有人认为相机是有意识的。

再来说说关于时间的认识。在“时间，空间，物质的一体性说明！”的文章结尾我写道：“在这里我们要把时间拿出来说了，而说到时间，就要把运动拿出来说了。但运动是物质的运动，时间和运动分不开，就意味着时间和物质分不开。离开时间谈物质，物质是没有变化的！”

见微知著

任何脱离时空，脱离运动的时间描述都是片面的。了解时间的本质，就要了解时空。这一方面理论，我们要感谢爱氏的相对论。爱氏说过这样的话：“对于像我们这些信仰物理学的人而言,过去、现在和未来之间的区别只不过是一种顽固持续的幻象。”显然爱氏认为时间是不存在的。

而我要感谢爱氏的相对论，并不是说我认为时间不存在，我认为时间是存在的。

不存在的东西就证明它不存在，存在的东西就证明它存在，这是我们人类的责任。就像引力波，等了那么久，我们终于证实它是存在的。你不理解的东西，不一定不存在！ 时间就是这样的东西，虽然它很抽象，但还可以想象。

在《时间的本质说明》中，我说过时间是没有箭头的。各位这是关键！过去，现在，将来这个时间箭头，是人为的。

而且时间被我这样定义：时间是物质在引力场中的位置以及运动速度的应变度量过程；它是物质存在的客观形式。

进一步的阐述说明是时间的这种“应变度量过程”就是物质在引力场的运动变化的持续性和连续性的表现。在这里要说明“应变”这个词，指的是时间受“引力场位置”和“运动速度”影响而作出的反应。

这种应变是不以人的意志为转移的，它是客观的。可是为什么连有些科学家都不愿意相信时间是存在的。就在它的抽象性和意识干扰性。

从这点来说，时间是个标量的认定是对的。只有大小，没有方向。可以为什么时间是向前的？为什么时间是不会停止的？

时间不会停止的原因是时空，时空存在，时间就存在！别忘了时间是组成时空的一个维度！ 更别忘了能量守恒定律！这些都指明了时间是一个永恒的存在！

再来说说最后一个关键问题：结果。也就是定域性，和实在性。其实答案很明显了。我一直说世界是确定的，只不过确定世界的因素太多，人类不能全部把握。

也就是说因果联系是存在的，我们要相信这种逻辑联系。但有一点不要忘了，因果联系也具有其矛盾性。这方面哥德尔不完备定理，说的很明白，也很天才！因为事物自身参与其中，且不能排除。所以矛盾也是必然的，是这个世界的法则。在这本书中，绝对提到了不下5次吧。

所以各位，标题中给出的问题就解决了。我们现在的行为，不能影响过去的结果。绝对不能！时间是存在的，但没有箭头。过去是一个过去，过的的一切物质的定域性，和实在性不在过去，而在现在！所以你无法影响！

物质世界是客观的，物质决定意识，意识可以反作用于物质。意识毕竟是依赖物质和能量存在的东西。所以量子力学的诸多诡异，只是我们了解这个世界还不够清楚而已。

摘自独立学者，科普作家灵遁者科普书籍《见微知著》

理论的完备性？

哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，在 1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。

上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这样一种演绎，它的每个步骤的正确性可以在算法上检验(比如通过计算机或手工)。