常数变易法(4x常数变易法)

常数变易法，4x常数变易法？

dy/(2-y)=2xdx //: 分离变量法

-d(2-y)/(2-y)=2xdx

-ln(2-y)=x^2+c'

ln(2-y)=-x^2+c

2-y=e^(-x^2+c)

y=2-e^(-x^2+c)=2 - Ce^(-x^2)

y(x)=2 - Ce^(-x^2)

如果：y(0)=y0

那么：C=2-y0

最后：y(x) = 2 - (2-y0) e^(-x^2)

通解同义词？

没有同义词，意思是指透彻理解。

造句1、的通解是一个偶次幂级数和一个奇次幂级数的任意线性组合。

2、在研究激素类物质在动物体内代谢特征的基础上，建立了“有漏洞的二分域模型”及其通解公式。

3、本文使用全微分法和常数变易法，从不同角度给出伯努利方程通解的公式。

4、建设万里长江第一桥，“天堑变通途”;铺通解放大道，贯穿东西汉口的“彩虹”一跃成为与北京长安街、南昌八一路并驾齐驱的“三套车”。

一般微分方程求根公式？

这是我以前写的“低阶微分方程的一般解法”

一.g(y)dy=f(x)dx形式

可分离变量的微分方程,直接分离然后积分

二.可化为dy/dx=f(y/x)的齐次方程

换元,分离变量

三.一阶线性微分方程

dy/dx+P(x)y=Q(x)

先求其对应的一阶齐次方程,然后用常数变易法带换u(x)

得到通解y=e^-∫P(x)dx{∫Q(x)[e^∫P(x)dx]dx+C}

四.伯努利方程dy/dx+P(x)y=Q(x)y^n

两边同除y^n引进z=y^(n-1)配为线形一阶非齐次方程

然后代如通解,最后代入z=y^(n-1)

五.全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

有解的充要条件为ap/ay=aQ/ax

此时通解为u(x,y)=∫(xo,x)P(x,y)dx+∫(yo,y)Q(x,y)dy=C

有的方程可通过乘积分因子得到全微分方程的形式.

二阶非齐次线性微分方程的通解结构？

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，其特解y*设法分为：1.如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式；2.如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。



二阶常系数齐次线性微分方程

标准形式

y″+py′+qy=0

特征方程

r^2+pr+q=0

通解

1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)

3.一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

特解y*设法

1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。

若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。

比如如果Pn（x）=a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）=x，则设Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）=x^2，则设Qm(x)=ax^2+bx+c。

若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*Qm(x)。

若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*Qm(x)。

2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。

若α不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=Qm(x)*e^αx，Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。

若α是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=1，即y*=x*Qm(x)*e^αx。

若α是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，即y*=x^2*Qm(x)*e^αx。

3、如果f(x)=[Pl（x）cos(βx)+Pn（x）sin(βx)]e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式。

若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=0，m=max{l,n}，Rm1(x)与Rm2(x)设法要根据Pl（x）或Pn（x）的情况而定（同Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定的原理一样）。

即y*=[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx

若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=1，即y*=x*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx。

齐次方程的通解中为什么把c换成u？

常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,常应用于一阶线性微分方程的求解。

数变易法中，将常数C换成u(x)就可以得到非齐次线性方程的通解。用u(x)代替C后，既能满足齐次方程，又能产出非齐次项，故一定可以找到合适的u(x)，使得它由微分算子运算后得到原微分方程的非齐项，因此原微分方程的通解都可以写成y2=u(x)y1(x)；（y1(x)是与它相应的齐次方程的通解）