不定积分换元法（正割或余割正整数幂的不定积分公式）

#头条创作挑战赛#

上次老黄在高数探究中遇到了一个危机。就是老黄自己推出来的正弦或余弦的正整数幂公式，和教材所给的递推公式，看不出有紧密的联系。因此老黄怀着忐忑的心情，把教材的递推公式推导出最终的公式形式，证明教材的递推公式与老黄自己推导的公式是一致的。这方面的内容可以在《老黄学高数》系列视频第267讲中找到详细的介绍。

同时这也给了老黄一点启发。教材中还有正割或余割的递推公式，老黄何不把它们的最终公式形态也推导出来。一可以熟练求积分的各种方法，二求出来的公式，以后也可以直接拿来运用，一举两得。这其实就是学习的一种方法，不仅高数适合，基础数学和其它学科也都是适合的。

说干就干，老黄先推导正割的正整数幂积分公式，看看结果是怎么样的。这里包含了两步，第一步是推出教材的递推公式。因为教材只给了一个公式，并没有教老黄怎么推出这个公式。第二步再在递推公式的基础上，推导出最终公式。

探究1：求In=∫(secx)^ndx，n>2.

推导过程用文字描述相当麻烦，老黄直接上图，希望你能够看得明白。如果有任何不明白的地方，欢迎回复提问。

公式需要分类讨论，即当n是奇数时，以及当n是偶数时两种情况。它们的公式形式看起来非常相似，只有首项的ln|secx+tanx|和tan的区别，以及求和公式的上标m和m-1的区别。但其实代入具体的指数n时，两个公式还是有不小的差别的。

注意，当n=1时，公式(1)剩下前面第一项，就是∫secxdx=ln|secx+tanx|+C. 当n=2时, ∫(secx)^2dx=tanx，也是公式(2)前面的第一项，都是各自的特例。

利用这个公式，来做两道例题，例1是求正割5次方的不定积分：

例1：求∫(secx)^5dx.

例2是求正割6次方的不定积分：

例2：求∫(secx)^6dx.

结果老黄都已经检验过了。检验过程还是相当解压的。因为你无法想象，要保证公式正确，是一个多么烧脑的探究过程。

下面再探究余割的正整数次幂的积分公式。就不重复上面极其麻烦的过程了，而是利用公式：sec(x+π/2)=-cscx. 把它转化成正割的正整数次幂问题。不过由于中间步骤比较繁琐，直接被老黄略去了。涉及的知识比较基础，你可以自行完成的。

探究2：求∫(cscx)^ndx，n>2.

可以看到所得公式与公式(1)(2)只有两处不同，一是各项符号相反，二是所有secx变成了cscx，而所有tanx也变成了cotx. 其它是完全一样的。

再来两道例题。例3是求余割的四次方的不定积分。

例3：求∫(cscx)^4dx.

例4是求余割的三次方的不定积分。

例4：求∫(cscx)^3dx.

如果你觉得老黄取的指数太小，造成巧合，那么你可以自己取一些大一点的数，仔细检验一下，不要自己出错就可以了。

最后还是一道练习：

练习：求∫((secx)^21+(cscx)^22)dx.

两个求和公式可以进行合并，但是继续化简将会非常麻烦，所以就以这样的形式做答案就好了。公式是不需要记在脑海里的，记在计算机上就可以了，如果有需要，找程序员编一个程序，只要输入参数，想要求正割或余割的任意正整数次幂，不论指数有多大，计算机都会直接得到结果的。