海涅定理（先天不足的缺陷）

无穷

还是悖论

前几天，16岁的表妹来数模君家玩，发现超模君沉浸在数学中不能自拔，于是就很好奇地问，表哥，你是学数学的，那么应该知道很多数学知识吧？

哎哟喂，这不正是超模君擅长的嘛，于是酷酷地回了她，当然，你想知道什么？

表妹十分高兴：“恩...我想想...啊，要不讲下集合论？！之前课堂上老师教集合的时候有提到过，我蛮好奇这个的。”

漂亮表妹的要求，哪敢不从，那就讲讲集合论的那些事儿吧。

说到集合论就得提起无穷，从萌芽到完善，集合论一直对无穷不离不弃。也正因如此，无穷的发展对于集合论而言是至关重要的。

两千多年前，古希腊的学者率先注意到生活中的无穷问题，并主动开始进行研究。

公元前5世纪，芝诺针对老师巴门尼德的“存在”不动、是一学说提出了著名的芝诺悖论，其中二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论均与无穷有关。但遗憾的是芝诺并没有在悖论中明确使用无穷集合的概念。

随后，无穷出现了两种方式，一种是无穷过程，也就是现在的潜无穷，另一种是无穷整体，现在的实无穷。但是，这两种方式从出现起都没有被分离过，直到亚里士多德的出现。

亚里士多德提出了区分两种无穷方式的想法，并指出实际上只存在潜无穷，而无穷集合是不存在的，比如正整数、地球的年龄等就是潜无穷。但是问题来了，当时的亚里士多德德高望重，因此后人皆选择迈向潜无穷，以至于阻碍了无穷集合的研究。

公元5世纪，拜占庭的普罗克拉斯为了解释在研究直径分圆中发现的矛盾问题：直径可将一个圆分成两个半圆，但是直径是无穷多的，所以必须有两倍无穷多的半圆，指出：任何人只能说有很大很大数目的直径或半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆。

也就是说，在普罗克拉斯看来，无穷只能是一种概念，而不是一个数，而无穷中存在的对应关系也被他直接忽略掉。

到了中世纪，越来越多人注意到部分和整体存在一一对应关系，伽利略就是其中一位。因为两个不等长线段上的点可以一一对应，伽利略意识到无穷大是有不同的“数量级”，但是他认为所有无穷大量都一样，就这样错过了成名的机会。

到了十七世纪，数学家引进了无穷小量运算，也就是现在的微积分，让无穷大也能跻身于数学当中。

无穷大的到来给数学带来了前所未有的繁荣和进步，正所谓树大招风，因为基础及其合法性无法确认一直被质疑，而高斯也在此时“落井下石”。作为一个潜无穷论者，高斯认为无穷只不过是一种谈话方式，代表一种极限（潜无穷）。

尽管如此，科学家们依旧不断地摸索着，不料发现无穷虽极具潜力，但无力掌握，因此彻底掌握无穷问题成为了奋斗的目标。

说到解决无穷，在说到康托尔之前不得不提的就是这位先驱——波尔查诺。

波尔查诺是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人。他向当时的数学家强调了两个集合等价的概念，也就是所谓的一一对应概念，紧接着他还搞了个超限数，提出了悖论，为康托尔创立集合论奠定了基础。

无穷何其有幸，在这个时代它受到了许多数学巨人的密切关注。

1854年，黎曼首次提出“唯一性问题”的。1870年，海涅证明了：当f（x）连续，且它的三角级数展开式一致收敛时，展开式是唯一的。而此时的康托尔恰好在研究唯一性判别准则时，意识到无穷集合的重要性，就开始了唯一性问题的研究。

不得不说，康托尔正是那位两千多年以来上帝赋予重任的人。

康托尔

1870年和1871年，康托尔证明了唯一性定理；1872年，他把海涅提出的一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无穷的集合的情形，然后为了描述这种集合，他引进了点集的导集和导集的导集等重要概念。

这次的引进成为了唯一性问题到点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。

1873年，康托尔明确提出了集合论产生的问题；同年12月，他证明了实数的“集体”是不可数的，也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来。

就这样，集合论诞生了。

集合论的诞生让康托尔欣喜若狂，继续奋斗着。1877年，康托尔发表了关于线面点点对应的论文，引发了人们对度量空间维数本质的研究，从而出现一大批论文。正是这批论文的出现标志着集合拓扑的开始。

没多久，康托尔出版的单行本《一般集合论基础》引进了超穷数，并建立了点集论体系。而他的最后一部数学著作《对超穷集合论基础的贡献》，让点集论过渡到抽象集合论，但还没涉及到公理化。

因此，现在的古典集合论或朴素集合论就是指康托尔创立的集合论。

集合论虽然出身不凡，但还是出现了先天不足。

集合论的诞生在当时的数学家看来是非常大逆不道的，加上康托尔悖论、罗素悖论等悖论的出现让人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑，从此反对成为了趋势。因此，所谓的经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派如雨后竹笋般迅速发展起来。

罗素悖论：设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x ∉ S}”。那么问题是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，则不符合x∉S，则S不包含于S；其次，若S不包含于S，则符合x∉S，S包含于S。

据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。

集合论的先天不足虽不足以致命，但依旧花费了很长的时间进行调理。

当年，集合论的诞生所引发的悖论，不但引起了人们对集合论的质疑，更是直接引发了第三次数学危机。为了解决危机，数学家们尽管内心十分不情愿但还是全身心地投入到集合论的改造中，即对康托尔的集合定义加以限制。

这就是集合论公理化的开始。

1908年，策梅罗提出第一个公理集合论系统，然后德弗兰克尔和斯科兰姆进行了修补：ZF如果另加选择公理（AC），则所得的公理系统简记为ZFC；1925年，冯·诺伊曼开创了另一套公理系统，后经伯奈斯及哥德尔的改进形成了NBG公理系统。

ZF公理系统：公理化集合论

“选择公理”（AC）有很多等价的形式，以下为较简单的描述：设C为一个由非空集合所组成的集合。那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。

NBG公理系统：冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论，是设计生成同Zermelo-Fraenkel 集合论与选择公理一起(ZFC)同样结果的集合论公理系统，但只有有限数目的公理而不使用公理模式。

公理系统的出现让集合论顺理成章地成功公理化，而德国数学家豪斯道夫出版的《集合论大纲》则让集合论顺利成为了系统的学科 ，致使后来慢慢地成为现代数学的基础。

时间不断变化，越是对集合论深入研究，数学家们越是意识到集合论的重要性，而属于集合论的那份祝贺也姗然而至。

在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上胡尔维茨明确地阐述康托尔创立的集合论对函数论的进展的推动作用，让集合论自诞生以来第一次得到公开的承认和热情的称赞。

表妹。。。。。

本文由超级数学建模编辑整理

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