导数和微分的关系（微分知识要领）

今天我们来讲解一下微分，现在在高中阶段，就开始接触微积分知识了，微积分是现代科学的数学基础，很多工程问题，都是需要通过微积分方程来解决的。闲话少说，我们直接上干货。

一、微分的含义

微分的原始含义：函数变量y的变化，相对于变量x的变化的变化率。这里的核心要注意的是，微分描述的是y相对x变化的变化率。设函数关系，y相对于x的变化关系可表达为：，当的时候，这个变化率，就是f(x)在x点的微分导数，数学推导式就是：

对于微分，通常表示为，意思是对y关于x求导。

二、微分的几何解释

由于在几何上可表示为几何曲线，对曲线函数对x进行微分求导，得出的也是一个函数，记为，我们叫它为函数的微分函数，设为这个几何曲线上的一个坐标点，我们要搞清楚以下关系：

，表示的是在x1点的导数值，这个导数值m，表示的是函数曲线在坐标点处的切线的斜率。其对应的切线方程是：

，这里特别要注意，别把m跟y1搞混了。

在点(x1,y1)上与切线方程垂直的直线方程称之为法线方程，其方程是：

上述关于微分、导数、切线斜率、切线方程、法线方程之间的关系，一定要搞懂，很容易混淆。

很多题目都会基于导数值、切线方程、法线方程这些关系，来让你求几何问题，包括直线长度、坐标值、角度等。你搞清楚上面的关系，这些题目都是很简单求解的，否则就会一头雾水。

三、微分的变化趋势解释

当函数在这个点上的导数值为0，意味着这个函数曲线，在坐标处于稳定点状态，这个稳定点，既可能是顶点，也可能是底点，由此可见，稳定点也可描述为函数曲线变化的转折点。那么这个点到底是顶点，还是底点呢？这可以通过对微分函数再进行一次微分，得出二阶微分函数，再把x1值代进去，根据下表关系即可判断出这个点到底是顶点，还是底点。

含义

位置

>0

下一趋势向上

底点

<0

下一趋势向下

顶点

微分的变化趋势的这个解释，是非常有实用价值的，其意思是，对于一个函数方程，我们可以通过找出其导数值为0的点，然后再进行二阶求导进而判断出导数值为0的点的下一走势趋势。举个例子，假如我们能够对某个股票的日k线图，建立起其价格p对于时间t的函数方程，那么我们就可以通过求导找出其转折点，这个转折点就是一个可能的买入卖出点，是买入，还是卖出，就看这个函数的二阶微风函数在这个点上的导数值m的结果了，如果m>0，则意味着下一趋势向上，是个买入点。如果m<0，则意味着下一趋势是向下，是卖出点。你看，如果你能对某只股票的价格p对于时间t的变化，建立起一个稳定的方程，那么你就可以运用微分知识，成为股神啦：）。当然这只是理论上可行，实际上你要建立一只股票的价格p对于时间t的变化的稳定的函数方程，几乎是不可能的，至少目前世界上还没哪个牛人能整出这样的方程：）。这里只是借用这个例子，说明一下微分的变化趋势的实际可能的用途。

四、微分的基础计算公式

上面讲述了微分的概念和原理，下面，我们正式进入微分的计算，微分的计算，其实就是找出一个函数对应的微分函数。微分的基础计算公式，就是那些最基础的计算公式，所有的微分计算，都是基于这些基础公式进行推导演化的，汇总如下：

上述就是所有的微分计算基础公式，都是需要背的，直接背下来就是了。

五、链式法则

上述介绍了微分计算的基础公式，那么对于复杂形态的函数进行求微分函数，怎么办呢？方法就是应用链式法则，链式法则的步骤如下：

1、把函数的不满足基础形态的x复杂部分，进行整体化x替代，让函数变成适用于基础公式的形态，再进行求微分，求出微分函数后，把这个整体化x用原来的内容替换回到得出的微分函数；

2、再对刚才被看成整体的部分进行再求微分，如果这个部分满足基础公式形态，直接求微分，如果这个部分还是不满足基础公式形态，再次按1步方法执行，直到是基础公式形态为止；

3、用第2步的结果与第1步的结果相乘，得到的就是最终的微分方程。

举例：对函数求x的微分方程

这个函数是个复杂函数，不满足基础公式形态，我们首先把、、三个不满足基础形态的x复杂部分，分别看成整体u、v、w，则函数形式变为

，这个是满足基础公式形态的，求微分得出

，再把各自的x整体代入进去，就是

然后对被看成整体部分的、、再进行分别求微分，分别得出是：、6、9，再把这几个被看成整体部分的微分结果，与各自的整体微分结果相乘，得出：

这就是最终的微分方程。

使用链式法则要注意：

1、当函数不满足基础形态时，把非基础形态的x部分，看成整体，让其满足基础形态

2、被看成整体的，求出微分方程后，记得要把整体表示的内容还原替换回去

3、被看成整体的还需要再次求微分，得出结果与之前的结果相乘。

链式法则对求解微分方程很重要，真正遇到的方程，绝大多数都不是基础形态的，都需要使用链式法则进行求解。

基于链式法则，可推导出以下公式，大家有兴趣可以自行推导一下：

好了，上面就是我总结的关于微分的知识内涵讲述，掌握了这些，你对微分的基础算是扎实了，剩下的就是做些题巩固一下理解，以上讲解希望对大家有帮助。知识创作不容易，您能看到这里，证明您对本篇知识感兴趣，认同的话，请点赞、分享加关注，您的支持是我前进创作的最大动力，感谢感谢！