一阶导数（端点效应是大坑）

​有很多朋友留言问：2020年高考全国I理科数学卷的压轴导数题，为什么用不了端点效应啊？

先来看题.

2020年全国高考I卷理科数学压轴题

1

端点效应是什么鬼？

针对不等式恒成立的题型，江湖人士总结出所谓的“端点效应”解法.

举例说明一下所谓端点效应的解法.

比如下面这道题：

第2问是恒成立问题，不等式在端点0处取等.

学习要深入思考

端点效应的解法是这样的：

第1步，根据端点处的导数≥0，讨论a的取值范围.

第2步，说明该范围是符合题意的，再说明该范围的补集区间是不符合题意的.

即我们要说明结果是充分且必要的.

再比如下面这一道：

第2问也是恒成立问题，不等式也在端点处取等.不仅如此，端点处的一阶导数也等于0.

不能流于表面

端点效应的解法是这样的：

第1步，根据端点处的二阶导数≥0，讨论a的取值范围.

第2步，说明该范围是符合题意的，再说明该范围的补集区间是不符合题意的.

即我们要说明结果是充分且必要的——符合题意的a的取值都在这个范围内，这个范围外的a的取值都不符合题意.

2

端点效应有什么隐患？

我从来不认为有所谓的“端点效应”，虽然这样起一个名字，好像问题就被简化了.但同时也容易固化、僵化脑子，容易犯错.

我愿意称呼它为——端点取等恒成立问题.

也就是说，端点取等恒成立问题≠端点效应问题.

想一想，为什么是这样？

为什么？

因为上面例子中的第2步，并不总能实现.

也就是说，第1问求出的a的取值范围，可能既不是充分的，也不是必要的.

3

什么时候能用所谓的“端点效应”？

有一小撮题目的确适用于所谓端点效应的解法.

什么特征的题呢？

你能想到吗？

敲黑板，划重点：

我们假设不等式f(x)≥0在端点k处取等，即f(k)=0.

若端点处的n阶导数≠0，端点处的前n-1阶导数都等于0，则根据端点处的n阶导数≥0，求出a的范围.

且，注意且，且n阶导数是单调递增的.

大家往上看，我在前面举的两个栗子，是不是都是这个类型？

把你手边上的所谓端点效应的题目对照对照，是不是都是这个类型？

原来如此，我懂了

4

分离参数依然是首选

回到2020年全国1卷的这道导数压轴题，分离参数依然是首选.

当然，指数与幂函数混合，用“指数找朋友”的策略也不错.但是，需要一定的讨论能力.

综合来看，还是分离参数法比较好.

不得不说，命题老师是下了功夫的.命题老师也是了解学情的，很多学生包括老师知道了网传的“端点效应”如获至宝，殊不知，聪明反被聪明误，命题老师抓住了问题的要害——不追求方法的来龙去脉、本质原理，机械套用公式方法必然会犯错.

给命题老师点个赞！