【通信技术基础第13讲】

这篇文章可能会枯燥一点,因为我们会一上来就给出离散傅里叶级数的的公式。
如果你是第一次进入此系列文章,并且有学习的需求(考研、期末考试种种),建议您看看班长之前的文章,并强烈推荐您观看班长自制视频:傅里叶的直观解释,无公式
我们都知道,一个时间上连续的周期函数,可以分解为多个正弦信号,就如图1所示:
图1:矩形信号分解成正弦信号
这是一个矩形信号,我们可以用多个不同频率的正弦信号进行叠加表示;如果以频率为横坐标轴,那么每个频率处以正弦信号的振幅(强度值)作为纵坐标,可以画出频域的表达式。
这是时间连续的情况,那么如果对于离散的数据呢?比如说我们想用计算机来处理傅里叶变换,那怎么办?
图3 傅里叶级数时域频域
很明显,最简单的办法就是对图3进行采样,得到图4,这样不就可以得出离散的傅里叶级数了吗?
这样的想法是对的,但是如果想要更为精确的推导,可能我们还需要经过“傅里叶变换","离散时间傅里叶变换”这两位同学。如果你感兴趣,你移步:傅里叶变换FT-FS-DTFT-DFS
图4 图中写错了,应该是DFS离散傅里叶级数
我们就按照采样的思想,得到了图4离散傅里叶级数,并且直接给出公式,即使你不太理解这个公式的来历,但绝对不会耽误你理解其余的内容,没错,有些时候当你功力不够之时,那就“死记硬背”吧!
时间轴上采样频率Ts设置为1,频率轴上采样频率f1设置为1,那么我们可以得到:
为了图省事,我们经常把e^-j2π/N写成Wn,那么这个公式可以表示为:
DFS的时域是离散的、周期的信号,频域也是离散的、周期的信号。这不是很好,周期意味着无穷无尽啊。但是周期又带来另外一个优点,那就是:
我们只需要取一个区间的N个点就可以了,其他的值都是一样的!
所以,我们把DFS公式修改一下,就只取一个区间,我们称之为主值区间。
现在给出有限长序列离散傅里叶变换的定义。设有限长序列x(n)长度为N(在0<=n<=N-1范围内),它的离散傅里叶变换X(k)仍然是一个长度为N(在0<=k<=N-1范围内)的频域有限长序列,正、逆变换的关系式如下:
没错,就是把周期信号xp(n)替换为主值区间序列x(n)。
实际上,根据班长之前的文章,DFS是按傅里叶分析严格定义的,而我们规定DFT是一种“借用”的形式。有限长序列x(n)是非周期的,故其傅里叶变换应当是连续、周期性的频率函数;现在,人为的把x(n)周期延拓构成xp(n),使x(n)充当其主值序列,于是xp(n)的变换式Xp(k)就成为离散、周期性的频率函数,借用Xp(k)的主值序列X(k)定义为“离散傅里叶变换DFT"。这样做的目的正是为了使傅里叶分析可以利用数字计算机。
总结
讲到这里,我们的傅里叶变换基本已经说完了。傅里叶级数帮助我们构建频域分析的思想,后续的傅里叶变换帮助我们快速的计算频域表达式,然后再通过采样,得到离散域的傅里叶变换。就在这里绕来绕去,但基本思想就是无非就是为了”方便计算,方便计算机编程“!
有了这个工具,后续我们再聊调制、滤波等通信技术,将不再心虚了。
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