傅立叶变换（为了便于计算机处理）

【通信技术基础第13讲】

这篇文章可能会枯燥一点，因为我们会一上来就给出离散傅里叶级数的的公式。

如果你是第一次进入此系列文章，并且有学习的需求（考研、期末考试种种），建议您看看班长之前的文章，并强烈推荐您观看班长自制视频：傅里叶的直观解释，无公式

我们都知道，一个时间上连续的周期函数，可以分解为多个正弦信号，就如图1所示：

图1：矩形信号分解成正弦信号

这是一个矩形信号，我们可以用多个不同频率的正弦信号进行叠加表示；如果以频率为横坐标轴，那么每个频率处以正弦信号的振幅（强度值）作为纵坐标，可以画出频域的表达式。

这是时间连续的情况，那么如果对于离散的数据呢？比如说我们想用计算机来处理傅里叶变换，那怎么办？

图3 傅里叶级数时域频域

很明显，最简单的办法就是对图3进行采样，得到图4，这样不就可以得出离散的傅里叶级数了吗？

这样的想法是对的，但是如果想要更为精确的推导，可能我们还需要经过“傅里叶变换","离散时间傅里叶变换”这两位同学。如果你感兴趣，你移步：傅里叶变换FT-FS-DTFT-DFS

图4 图中写错了，应该是DFS离散傅里叶级数

我们就按照采样的思想，得到了图4离散傅里叶级数，并且直接给出公式，即使你不太理解这个公式的来历，但绝对不会耽误你理解其余的内容，没错，有些时候当你功力不够之时，那就“死记硬背”吧！

时间轴上采样频率Ts设置为1，频率轴上采样频率f1设置为1，那么我们可以得到：

为了图省事，我们经常把e^-j2π/N写成Wn，那么这个公式可以表示为：

DFS的时域是离散的、周期的信号，频域也是离散的、周期的信号。这不是很好，周期意味着无穷无尽啊。但是周期又带来另外一个优点，那就是：

我们只需要取一个区间的N个点就可以了，其他的值都是一样的！

所以，我们把DFS公式修改一下，就只取一个区间，我们称之为主值区间。

现在给出有限长序列离散傅里叶变换的定义。设有限长序列x(n)长度为N(在0<=n<=N-1范围内)，它的离散傅里叶变换X(k)仍然是一个长度为N(在0<=k<=N-1范围内)的频域有限长序列，正、逆变换的关系式如下：

没错，就是把周期信号xp(n)替换为主值区间序列x(n)。

实际上，根据班长之前的文章,DFS是按傅里叶分析严格定义的，而我们规定DFT是一种“借用”的形式。有限长序列x(n)是非周期的，故其傅里叶变换应当是连续、周期性的频率函数；现在，人为的把x(n)周期延拓构成xp(n)，使x(n)充当其主值序列，于是xp(n)的变换式Xp(k)就成为离散、周期性的频率函数，借用Xp(k)的主值序列X(k)定义为“离散傅里叶变换DFT"。这样做的目的正是为了使傅里叶分析可以利用数字计算机。

总结

讲到这里，我们的傅里叶变换基本已经说完了。傅里叶级数帮助我们构建频域分析的思想，后续的傅里叶变换帮助我们快速的计算频域表达式，然后再通过采样，得到离散域的傅里叶变换。就在这里绕来绕去，但基本思想就是无非就是为了”方便计算，方便计算机编程“！

有了这个工具，后续我们再聊调制、滤波等通信技术，将不再心虚了。

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