何为布劳威尔不动点定理？
先来举几个例子来说明：
１.把一张当地的地图平铺在地上，则总能在地图上找到一点，这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置，这个点就是不动点。
２.如果在商场的地板上画了一张整个商场的地图，那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记，这个点就是不动点。
３.假如你去登山，假设上午8点从山脚出发，一路上饱览风光，中午12点到达山顶，在山上玩乐过夜，第二天8点从山顶出发，原路返回，悠哉悠哉下山，中午12点恰好到达山脚。那么，根据有趣的布劳威尔不动点定理，存在这样一个现象：肯定在某个时刻，你在山上的位置和昨天在山上的位置是恰好一样的。或者说，两次到达山上某个地点的时间是相同的。
怎么样？看了上面几个例子后你对布劳威尔不动点定理有了多少理解呢？
布劳威尔不动点定理
1912 年，荷兰数学家布劳威尔（Luitzen Brouwer）证明了这么一个定理：假设 D 是某个圆盘中的点集，f 是一个从 D 到它自身的连续函数，则一定有一个点 x ，使得 f(x) = x 。换句话说，让一个圆盘里的所有点做连续的运动，则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理（Brouwer fixed point theorem）。
布劳威尔不动点定理：假定X是一个既紧又凸的拓扑空间，又设f是一个映X到自身的连续变换，则f在X中有一个不动点，即存在X中一点x*，使得f(x*)=x*。
布劳威尔不动点定理最有代表性的例子是如下两个：
1. 倒一杯咖啡，然后用一个汤匙慢慢搅动咖啡，慢慢地轻轻地搅，不要让咖啡溅出。不动点定理告诉我们，无论怎么搅动，咖啡中有一点在原来的位置上没有动。当你继续搅动，让这一点离开原来的位置，但是无法阻止另一点回到最开始的位置上。
2. 取两张一样大小的白纸，在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面，而另外一张随意揉成一个形状（但不能撕裂），放在第一张白纸之上，不超出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方。一个更简单的说法是：将一张白纸平铺在桌面上，再将它揉成一团（不撕裂），放在原来白纸所在的地方，那么只要它不超出原来白纸平铺时的边界，那么白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过。
再来看几个和不动点定理类似的有趣例子：
不能抚平的毛球
想象一个表面长满毛的球体，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像鸡冠一样的一撮毛或者像头发一样的旋吗？拓扑学告诉你，这是办不到的。这叫做毛球定理（hairy ball theorem），它也是由布劳威尔首先证明的。用数学语言来说就是，在一个球体表面，不可能存在连续的单位向量场。
毛球定理在气象学上有一个有趣的应用：由于地球表面的风速和风向都是连续的，因此由毛球定理，地球上总会有一个风速为 0 的地方，也就是说气旋和风眼是不可避免的。
气候完全相同的另一端
定理：在任意时刻，地球上总存在对称的两点，他们的温度和大气压的值正好都相同。
平分火腿三明治
定理：任意给定一个火腿三明治，总有一刀能把它切开，使得火腿、奶酪和面包片恰好都被分成两等份。
而且更有趣的是，这个定理的名字真的就叫做“火腿三明治定理”（ham sandwich theorem）。它是由数学家亚瑟•斯通（Arthur Stone）和约翰•图基（John Tukey）在 1942 年证明的，在测度论中有着非常重要的意义。
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