两手抓住一根均匀链子的两端，让其自然下垂，问它是何种曲线？很多人认为是抛物线。其实这是错误。实质是悬链线 (Catenary)，一种曲线。
悬链线，即一根质量不可忽略、弹性可视为零、两端自由悬挂的绳或链，在重力作用下下垂弯曲形成的曲线。
我们对悬链线的直观认识无处不在，从空闲的晾衣绳、农家风格的粗绳栏杆，到悬索桥中跨的主缆、挂着水珠的蜘蛛网、两根电线杆之间的电线等等，都有着相似的曲线形态，。这优美的对称曲线强烈取悦着我们的眼球。
适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为：y=a cosh(x/a)，其中，a为曲线顶点到横坐标轴的距离。
▲ 粘着露水的蜘蛛网
01
达·芬奇不仅是意大利的著名画家，他画的《蒙娜丽莎》带给了世界永恒的微笑，而且他还是数学家、物理学家和机械工程师，他学识渊博，多才多艺，几乎在每个领域都有他的贡献，他还是数学上第一个使用加、减符号的人，他甚至认为：“在科学上，凡是用不上数学的地方，凡是与数学没有交融的地方，都是不可靠的”。
他本人在创作《蒙娜丽莎》时，认真地研究了主人公的心理，做了各种精确的数学计算，来确定人物的比例结构，以及半身人像与背景间关系的构图问题。当我们欣赏着他的《抱银貂的女人》中脖颈上悬挂的黑色珍珠项链时，我们注意的是项链与女人相互映衬的美与光泽，而不会像达·芬奇那样去苦苦思索这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？
这就是著名的悬链线问题，达芬奇还没有找到答案就去世了。
02
从外表上看，悬链线真的很像抛物线。荷兰物理学家惠更斯用物理方法证明了这条曲线不是抛物线，但到底是什么，他一时也求不出来。直到几十年后，雅各布·伯努利再次提出这个问题。
与达芬奇的时代时隔170年， 1690年，瑞士数学家雅各布·伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。
但遗憾的是，面对这个苦恼的难题，他没有丝毫进展。一年后，雅各布的努力还是没有结果，可他却懊恼地看到他的弟弟约翰·伯努利（Johannes Bernoulli，1667—1748）发表了这个问题的正确答案。而自命不凡的约翰，却几乎不可能算是一个谦和的胜利者，因为他后来回忆说：
我哥哥的努力没有成功；而我却幸运得很，因为我发现了全面解开这道难题的技巧（我这样说并非自夸，我为什么要隐瞒真相呢？）……没错，为了研究这道题，我整整一晚没有休息……不过第二天
早晨，我就满怀欣喜地去见哥哥，他还在苦思这道难题，但毫无进展。他像伽利略一样，始终以为悬链线是一条抛物线。停下！停下！我对他说，不要再折磨自己去证明悬链线是抛物线了，因为这是完全错误的。
可笑的是，约翰成功地解出这道难题，仅仅牺牲了“整整一晚”的休息时间，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年，这实在是一种“奇耻大辱”。
微积分解悬链线分析如下：现有一根细绳自然下垂，取对称轴为y轴（此处x轴如何选定并不会对推导过程造成太大影响）。细绳的线密度为ρ，重力加速度为g。
从水平与竖直两个方向分析：竖直方向由于重力作用，绳中张力的垂直分力并不处处相等，而是从最低处起增加；水平方向无重力作用，因此绳中张力的水平分力处处相等。设张力的水平分力为T。
取绳上横坐标为x的点进行受力分析。张力的走势与此处的切线相同，张力的垂直分力为此点下方绳的重力，水平分力为T。而绳的质量等于线密度乘绳长，m=ρl。
对于函数图线的长度，我们有公式：
因此，不难写出方程：f'(x)=mg/T，进一步改写成：
两边求导，答：
将f(x)导函数转移至等号同侧，得：
两边积分，得：
接下来进入重要环节：查阅导数与积分表，发现(arcsinhx)'=1/√(1+x²)，于是方程写为：
进一步求解：
再查阅导数与积分表，发现(coshx)'=sinhx，(sinhx)'=coshx，对等号左右积分得：
由于我们选取对称轴为y轴，在x=0处切线水平，f'(0)=0，得出sinhC1=0，C1=0。
对于C2，并没有限制条件，因此可以取任意值。为了美观，不妨令C2=0，因此悬链线方程（函数）为：
它非常简洁美观，和道家所认同的“大道至简”相符。
令人惊喜的是，德国数学家莱布尼茨、荷兰天文学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens，1629—1695）于1691年分别独立地给出了问题的解。
03
值得说明的是， 数学上除了两个十分重要的函数——自然指数函数、自然对数函数与e有关外，还有一类就是双曲函数。
合理的曲线形态与荷载有关。如下图所示，沿跨度投影方向均布的竖向荷载作用下，合理形状是二次抛物线。在沿着构件单元长度均布的荷载下，是悬链线。在沿着曲线法线的均布荷载下，合理形状则是圆弧 (想象一下肥皂泡)。
上个世纪60年代以来，西方桥梁建筑中出现了先进的悬链线形拱桥，可谓坚不可摧。连建筑学也与e攀上亲戚，这的确令人惊叹不已。如日本2011年3月1日，“东日本大地震”中许多建筑由于悬链线的设计而幸免于倒塌。
而更令人惊叹的是，在我国江南水乡浙江绍兴，桥梁建筑史家已经发现了两座近似悬链线形的清代石拱桥，中国古代桥梁建筑技术之高超，由此可见一斑。
有趣的是，它们时常以看似“相反”的形式出现。比如，美国圣路易斯的杰斐逊纪念拱门，主要竖向荷载是拱的自重，因此它的合理形状是悬链线。而我们常见的悬索桥，主要荷载是沿跨度方向均布的桥面，它的形状反而是抛物线。
杰斐逊纪念拱门，高 192 米
▲ 旧金山金门大桥
实际上，抛物线和悬链线的形状差别并不大。对于能承受一定弯矩的刚性结构来说，这种差别带来的影响不大。但对于零弯矩的柔性结构，形态尤为重要。初始的形态偏离越多，加载后的形变越大。连接A、B两点的曲线y=f（x）绕x轴旋转，侧面积最小者必为悬链线y=achx/a(a≠0)，即悬链面是仅有的极小旋转曲面。
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