德国著名数学家高斯从小就显现出了他在数学方面的天赋，高斯求和的故事是我们从小就听过的一个故事，今天极客数学帮就来总结小学阶段高斯求和的相关知识点，帮助同学们在小学阶段塑造一定的数学思维，更好的学习数学。
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；
（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；
（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
例11＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例211＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例33＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
练习：1、计算下面各题。
（1）3＋10＋17＋24＋…＋101
（2）17＋19＋21＋…＋39
2、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和
4、已知等差数列2，5，8，11，14，…
（1）这个数列的第13项是多少？
（2）47是其中的第几项？
5、已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差。
6、如果一个数列的第4项为21，第6项为33，求它的第9项。
7、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
8、已知等差数列6，13，20，27…，问这个数列前30项的和是多少？
9、①7＋10＋13＋…＋37＋40
②2000－3－6－9－…－51－54
10、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？
答案：
1、（1）780 （2）336
2、1127
3、2565
4、（1）38 （2）16
5、51
6、1127
7、3225
8、（1）282
（2）1487
9、1254
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