随机变量的定义（随机变量与期望详解）

随机变量

教科书对随机变量的定义一般都是：

Random Variable - A function that associates a real number with an event

随机变量 - 是给某个事件赋予一个实数值的函数

这个定义一如既往的简单明了，符合数学的风格。首先随机变量是函数；真心不是变量；其次，随机变量的作用是给某个事件赋予一个实数值。问题是：为什么需要随机变量？为什么需要给某个事件赋予一个实数值呢？以抛硬币为例来进行说明。我们用H代表头像朝上，用T代表另一面朝上。如果把一枚硬币抛掷五次，得到这样一个观察序列：THHTT。现在有了观察样本，但是这些样本是字母，并不能进行数学运算啊。怎么办呢？我们可以将它们转化成数字。如果有这样一个转换函数，这个函数接受观察样本作为输入，并且

如果输入T，函数就输出0；如果输入是H，函数就输出1

那上面的观察样本就变成：01100；而这个转换函数就是随机变量。这好像和我们经常想的不一样。在我们的想象中，随机变量就是一个随机数生成器之类的东西，每次我们用到它，都会得到一个随机值。当然，很多教科书上也是这样讲解随机变量的，让人误以为随机变量就是一个随机数生成器。下面是一些随机变量的例子：

X(w) = 1 if w is T

X(w) = 0 if w is H

A(w) = 2 if w is yellow

A(w) = 1 if w is red

A(w) = 0 if w is blue

B(w) = -200 if w is yellow

B(w) = 9700 if w is red

B(w) = 111 if w is blue

可以看到，我们可以给随机变量赋予任何值，这当然取决于实际的应用场景。

有了随机变量，我们就可以进行如下的操作；譬如：

P(X=1) = 1/2

P(A=2) = 0.32

那么问题来了，为什么不直接用P(T) = 1/2，而要多吃一举用P(X=1) = 1/2呢？因为用P(X=1)这种形式可以进行更复杂的计算；譬如：P(X>=1), P(A <= 1)之类的，而这些是直接用观察样本点所不方便表示的。

数学期望

教科书对期望的定义是：

Expectation of a Random Variable - the sum of its values weighted by their probability

随机变量的期望 - 随机变量取值和取值对应概率相乘的和

举个例子，譬如有：

P(A=2) = 1/2, P(A=1) = 1/4, P(A=3)=1/4

那么随机变量A的数学期望就是

E(A) = 2 X P(A=2) + 1 X P(A=1) + 3 XP(A=3) = 2 X 1/2 + 1 X 1/4 + 3 X 1/4 = 2

期望看起来就是随机变量的均值！！！在很多情况下，确实是这样。那为什么不用均值这个词，一定要用期望呢？这儿的例子都是离散的，当涉及到连续的分布时，均值这个概念就会有点误导。在我们的印像中，均值只能应用在这种离散性的数值性的作用域上，对函数这种连续的存在，均值有点力不从心。