旋转变换（旋转变换解难题）

旋转变换是几何“三大变换”之一，如果图形中某个三角形的某条边与某条线段具有公共的端点且相等的长（简称“共点等长”），则可以考虑将这个三角形绕这个公共端点旋转适当的角度，使相等的边重合，然后再进一步探索即可使问题迎刃而解.请看如下几例：

例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是___________.

【解析】欲求CQ的最小值，必须先知道动点Q运动的轨迹（即路线）.由题意，△DPQ是等边三角形，所以DQ=DP，所以△DQC的边DQ与线段DP“共点等长”，且夹角为60°，因此，将△DQC绕点D顺时针旋转60°到△DPE，则CQ=EP，CD=CE，∠CDE=60°，

连接CE，则△DCE是等边三角形，

所以CE=CD=2，∠ECD=60°，

所以∠PCE=90°-60°=30°，

因为点E是定点，P是AC上的动点，

所以当EP⊥AC时，

EP最小值=CE/2=1，

所以CQ最小值等于1.

例2 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=5√3，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为__________.

【解析】根据题意，点D是定点，点Q是动点，欲求DQ的最小值，必须明白点Q运动的轨迹（即路线）.

由已知的旋转，得：AQ=AP，所以△AQD的边AQ与线段AP“共点等长”，且夹角为60°，所以将△AQD绕点A顺时针旋转60°到△APE，则DP=EP.

连接DE，则△ADE是等边三角形，

因为AD是定边，

所以点E是定点，

因为P是BC上动点，

所以当EP⊥BC时，EP最小.

作EF⊥AD于F，

则AF=AD/2=5√3/2，

所以EF=15/2，

所以EP最小值=15/2-5=5/2，

即DQ的最小值为5/2.

例3 如图，D，E是等边三角形ABC的AC上两个动点，∠DBE=30°.如果AE+CD=2√3/3DE，求∠BDE的度数.

【解析】考虑到△BCD的边BC与BA“共点等长”，且夹角为60°，将△BCD绕点B顺时针旋转60°到△BAF，连接EF.

因为∠DBE=30°，∠DBF=60°，

所以∠FBE=30°，

所以∠FBE=∠DBE，

又因为BF=BD，BE=BE，

所以△BEF≌△BED，

所以EF=DE，∠BEF=∠BED，

延长EA到P，使AP=AF，连接PF.

因为∠BAC=60°，∠FAB=∠C=60°，

所以∠PAF=60°，

所以△PAF是等边三角形，

所以∠P=60°，

因为AE+CD=AE+AP=PE=2√3/3DE，

所以PE=2√3/3EF，

作EH⊥PF于H，

则由∠P=60°，得PE=2√3/3EH，

所以EF与EH重合，所以PFE=90°，

所以∠PEF=30°，

所以∠BED=（180°-30°）/2=75°，

所以∠BDE=75°.

例4 如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2√3、√2、4，则正方形ABCD的面积为 ．

【解析】由已知，△BAP的边BA与线段BC“共点等长”，夹角为90°，故将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．

∵BP＝BM=√2，∠PBM＝90°，

∴△BPM是等腰直角三角形，PM=√2PB＝2，

∵PC＝4，PA＝CM＝2√3，

∴PC2＝CM2+PM2，

∴∠PMC＝90°，

∵∠BPM＝∠BMP＝45°，

∴∠CMB＝∠APB＝135°，

∴∠APB+∠BPM＝180°，

∴A，P，M共线，

∵BH⊥PM，∴PH＝HM，

∴BH＝PH＝HM＝1，

∴AH＝2√3+1，

∴AB2＝AH2+BH2

＝(2√3+1)2+12＝14+4√3，

∴正方形ABCD的面积为14+4√3．