扩展欧几里得（从欧几里得视角看到的是一场革命）

我记得我的数学教育是从数字开始的。首先是我的母亲，然后是我的小学老师，教我如何数数和计算。然而，2400年前，一切都完全不同，孩子们首先学习几何。

在耶稣之前，几何学比数字更重要。例如，当西方世界第一所高等教育机构的创始人柏拉图回到雅典时，他决定建立“学院”，它将成为世界的知识中心。为此目的，他在学院门口刻下“ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣΜΗΔΕΙΣΕΙΣΙΤΩ”（翻译成“不懂几何的人不得进入”)。柏拉图的理想世界理念与美丽和智慧有着紧密的联系，这两者在数学中都得到了很好的体现。后来，一个年轻人，欧几里得进入那扇门，成为数学家和哲学家，并写了一个几何书籍——《几何原本》，成为有史以来最著名的教科书，也是继《圣书》和《古兰经》之后印刷最广泛的书籍。

《几何原本》之所以如此有影响力，是因为它包含了直到欧几里得时代的一系列重要数学著作。欧几里得的大部分思想都是作为启示而来，并奠定了欧几里得几何学的基础。这些想法成为了两千年来几何教学的核心。在很长一段时间里，如果你没有读过《几何原本》，你就不会被认为是有知识的。即使在今天，当你阅读《几何原本》的时候，你会发现它包含了非常有用的现代理论，这使得它与众不同。

欧几里得生活在公元前300年左右。对于那些对数学感兴趣的人来说，他是一个很好的楷模。他死后，他的思想和作品成为了天才思想的汇聚点。有学问的人会读他的书来发现自己智慧的力量，即使他们不是数学家。

例如，在《几何原本》被写出来的2000多年后，在宿舍里每个人都上床睡觉后，亚伯拉罕·林肯在灯光下阅读欧几里得的《原理》，以增强自己的推理能力。当他成为总统时，他还在阅读《几何原本》，并在他执政期间做出正确的政治决策。

同样，小说家和哲学家陀思妥耶夫斯基在他的书《卡拉马佐夫兄弟》中提到欧几里得（下图中高亮的部分）：

译文：如果上帝存在，并且他真的创造了世界，那么，他一定是根据欧几里得的几何学和人类的思维创造了世界。然而，仍然有一些几何学家和哲学家，甚至一些最杰出的人，怀疑整个宇宙，或者更广泛地说，整个存在，是否只是欧几里得几何学中创造出来的。他们甚至敢于梦想，根据欧几里得理论，两条平行线永远不会在地球上相遇，而可能会在无限远处的某个地方相遇。

在那之后的一个世纪，史上最伟大的思想家之一，阿尔伯特·爱因斯坦，在他关于理论物理学方法的文章中，对欧几里得和他的书给予了更强有力的支持。

在我们这个时代的精英哲学家伯特兰·罗素的话语中，我们发现了对欧几里得清晰而简洁的评价：“欧几里得的《几何原本》无疑是有史以来最伟大的著作之一，也是希腊智慧的完美丰碑之一。”他还在自传中说：“11岁时，我开始学习欧几里得，我哥哥是我的导师。”这是我生命中最重要的事件之一，就像初恋一样耀眼。我没想到世界上还有这么好吃的东西。”

欧几里得与众不同。我们对他的个人生活、家庭和非数学方面的好奇心几乎一无所知。然而，我们知道的一件事是他是当时亚历山大市最受尊敬的老师之一。当其他人还在为食物和住所而工作时，欧几里得却在研究抽象的概念。他对建造和创造城市并不像对数学概念那么感兴趣。他意识到社会在变化，人们需要一种合乎逻辑的思维方式来统治城市。这就是为什么这个时代出现了数学理论思想的激增。

当他坐在海边思考我们所生活的这个世界的问题时，他发现了今天通过卫星照片来证实的真理。他只带了一个直尺和一个指南针就开始了他的旅程。这是欧几里得用来研究所有几何的唯一工具。首先，他用他的工具画了两个点和一条线，从中他得到了很多更令人兴奋的东西，让我们学习。如果我们把数学定义为一种智慧的旅程，欧几里得的思想绝对是第一步。从欧几里得的视角看到的景色是一场革命，它将延伸到太空中。

的确，在欧几里得看来，数学之所以如此重要，是因为它纯粹是以真理为导向的，具有艺术之美和抽象思维的价值。他的数学方法仍然是一种完美的推理模型。他做了一些以前没有做过的事情。我们可以说，他的作品是数学作为分析演绎的开始。他给我们上了宝贵的一课。当我们凭直觉感觉某件事是正确的，我们需要证明它对每个人来说都是正确的。他向我们展示了证明的力量并帮助我们找到普遍真理的逻辑路径。他把数学变成了一门能百分之百确定地证明事物的学科，并且可以应用于各种情况。

当你阅读欧几里得的《几何原本》时，你会注意到欧几里得的数学方法是独特而直接的。他从基本的假设开始比如，如果这是真的，那么这一定是真的，或者如果这是错的，那么它的反面一定是真的。然后，他要么证明他的假设，要么证明他的假设的对立面，并通过将结果写成一个定理来得出结论。重要的是欧几里得选择了普适性，他没有为具体问题找到临时解决办法。

让我们看看欧几里得关于质数的证明。质数没有什么特别的地方除了它们有无穷多个。我们不能百分之百确定，但有理由相信欧几里得是第一个证明有无穷多个质数的人。他的证明也很可能是数学史上的第一个证明。然而，必须提到欧几里得从来没有明确地写过，“有无穷多个素数”，相反，他写道：“质数比任何给定的质数数量都要多”。之所以使用这种奇怪的措辞，是因为“无限”这个概念与今天不同，而且是一个不断发展的概念。

我相信你们都遇到过质数。在给出欧几里得的独特证明之前，我们应该讨论一下质数，因为定义是理解数学的重要部分。什么是质数？

定义：质数是比1大的整数，且只能被1和它自己整除。

数字1是这个定义的例外。虽然1满足质数的所有条件，但我们不假设它是质数是有充分理由的。这是因为数学家需要做出实际的定义。如果1被认为是一个素数，那么在对任何数应用质因数分解时都会遇到问题。例如，如果你对18做质因数分解，你需要写:

18 = 2 x3x3x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1……

我认为这是说1不是质数的充分理由。

然后他问自己:“如果我继续写作，我会停止吗？”他希望有无穷多个质数，因为否则，无论是对他还是他之后的任何一位数学家来说，生活都将是单调乏味的。这是一个非常具有挑战性的问题，因为他必须煞费苦心地检查每个数字，看它是不是质数。没有计算机帮助他做计算。计算13是否是质数是很容易的，但很大的数字需要几天或几周的时间才能确定（是否是素数）。即使我们有机会把世界上最强大的计算机捐赠给欧几里得研究，也不足以平息他的好奇心。计算机可以找到一个巨大的质数，但我们还不知道它是否是最大的质数。

欧几里得仅仅利用他那个时代的数学就发现了许多真理。既然相信某事并不足以说服人们，他就必须再一次寻找绝对的确定性。只有这样，欧几里得才能用一种数学方法来解决这个问题。他只是需要一个绝妙的想法，并以一个优雅的证明而告终。这就是为什么他首先定义了一个定理。

定理：质数比任何给定的质数都要多。

他的证明对欧几里得来说意义重大，因为他的定理必须是可靠的。他计划使用一种思维实验，这是一种被称为反证法的数学技巧。首先，他想象自己生活在一个质数有限的宇宙中。这样，他就可以把它们写在清单上。这可能是一个很长的列表，但质数在他的宇宙中是有限的。他不知道最大的质数，所以他叫它p。“他得到了一张很大的纸，写下了世界上所有的质数。他的列表从2,3,5,7开始，一直到“p”，这是[理论上]最大的质数。欧几里得于是想出了一个绝妙的主意:“我要把所有这些数相乘，然后加1。”

他不知道这个数是多少，但它是所有质数的乘积加上1。他已经知道这个数必须有一个质因数因为每个大于1的数都必须有一个质因数。算术基本定理表明这个数本身是质数的可能性仍然存在。

算术基本定理：每个大于1的整数都可以用本质上唯一的方式表示为素数的乘积。

换句话说，它们是构成所有数字的基本元素。老师们喜欢说:“质数是数学中的原子。”

欧几里得需要验证一下。质因数能是2吗？答案是否定的，因为这个数是另一个数的两倍加上1。所以余数是1。质因数会是3吗？答案还是no，因为这个数是其他数的3倍加上1，余数是1。质因数能是5吗？不，因为这个数是其他数的5倍加上1，余数是1。对于每一次假设，都会发生同样的事情。因此这个数p一定是质数，从而证明质数有无限多个。

很久以前欧几里得所做的是如此美妙，他扩大了我们的知识面。就像我前面说的，从欧几里得的视角看到的景色是一场革命，它将延伸到太空中。对我们来说，扩展数学边界的可能性应该是令人兴奋的。